Obtenção e Tratamento de Dados   Laboratório de Engenharia

Engenheiro determina e utiliza constantemente dados experimentais para: Testar predições teóricas Analisar performances de processos Determinar modelos matemáticos (equações empíricas) para projeto de equipamentos Etc.

O significado das conclusões obtidas a partir de nossos dados dependerá Qualidade dos dados Metodologia de cálculo: modelos e métodos Qualidade dos resultados : Grau de exatidão requerida é estabelecido pelo uso que será dado a esses dados Pesquisa completas : no tempo e custo disponível

Medidas: como processar resultados?

Número de medidas: replicatas Medida : resultado de uma medição, acompanhado da unidade conveniente. Usualmente: 3 Porém isto depende da incerteza da medição e da dificuldade de obtenção do dado (custo e tempo)

Exemplo de resultados em triplicata Textura de géis lácteos e de goiaba

Tipos de erros GROSSEIROS Falhas do operador: engano na leitura da medida ou troca de unidades Mais cuidado na realização das medidas SISTEMÁTICOS ACIDENTAIS ou ALEATÓRIOS Pessoais: imperícia, cansaço ou distração. Enganos (fortuitos) na leitura das escalas. Diferenças grandes entre as amostras (produtos naturais) Conduzem a resultados díspares dos restantes (necessidade de realizar várias medidas experimentais) Instrumentais: calibração Método usado Pessoais Ambientais Podem ser corrigidos ou parcialmente compensados

Avaliação da dispersão dos dados EXATIDÃO PRECISÃO ………..afetada……….. Erros Sistemáticos Erros Acidentais ou Aleatórios Exemplos (medida exata mas não precisa) (medida precisa mas não exata, ou seja, a medida pode não estar próxima ao valor real, mas o desvio entre as medidas é baixo )

Erros e desvios: diferença Incerteza nas medidas Erro: diferença entre valor medido e o real Desvio: diferença entre o valor medido e o que mais se aproxima do real - dispersão dos valores

Interpretação das medidas: valor médio e desvio Valor médio ou média aritmética: x1, x2, …, xn – medidas experimentais n – número de medidas Desvio de cada medida:

Interpretação das medidas: desvio padrão, médio e absoluto Dispersão n pequeno (menor que 10) n elevado (distribuição normal) Desvio médio (dm) Desvio absoluto (da) Desvio padrão (s)

Interpretação das medidas: distribuição normal Média 1 DP 1 DP 34% 34% 2 DP 2 DP 3 DP 3 DP 68,3% 95,5% 99,7%

Método Student Quando o número de pontos experimentais que se conta para calcular a media é baixo, a estimativa do descio padrão por não da uma boa estimativa do Pode demostrar-se que o intervalo de confiança para uma dada probabilidade P:

Distribuição do t de student grau de liberdade/ P 0,5 0,7 0,9 0,95 1 1,963 6,3 12,7 2 0,816 1,386 2,92 4,303 3 0,765 1,250 2,353 3,182 4 0,741 1,190 2,132 2,776 5 0,727 1,156 2,015 2,571 Grau de liberdade= n-1 P= probalidade de achar a media num intervalo de confiança eo

Interpretação das medidas: Incerteza Incerteza absoluta (mesma amostra): Incerteza relativa (diferentes amostras): Apresentação do resultado de uma medida:

Interpretação das medidas: avaliação dos resultados - Dx + Dx Xv Xv Resultado não aceitável Resultado aceitável

Medidas indiretas: propagação de erros Grandeza G é função das variáveis gi (ex: propriedades físicas): G = f ( g1, g2, ..., gn ) g1, g2, ..., gn – grandezas obtidas por medição direta Dgi - incerteza absoluta da grandeza gi Valor médio da grandeza G: G = f ( 1, 2, ..., n )

Medidas indiretas: propagação de erros Equação de Propagação de Erros

Seja a função uma somatória: Supor os erros sempre com o mesmo sinal: estimativa conservadora

Função: Dividindo por G

Quando na função aparecem potencias : Para esta função ( G=A.y.z/w): o erro de relativo de G : somatória do erros relativos das variáveis Quando na função aparecem potencias :

Dividindo por G

Logo em geral: As variáveis com maiores erros relativos terão maior influencia na função G determinada Maior é a potencia a qual a variável está afetada maior será a influencia do erro da medida desta variável

Medidas indiretas: algarismos significativos O Cálculo da Incerteza Absoluta permite determinar o número de Algarismos Significativos da grandeza medida

Algarismos significativos: definição Natureza do instrumento (sensibilidade ou precisão do instrumento) (valor da menor divisão da escala do instrumento) algarismos exatos + 1º algarismo duvidoso (metade da menor divisão) Algarismos significativos

Algarismos significativos: exemplo l = 29,4 mm algarismo avaliado (duvidoso) lido por estimativa

Medidas em equipamentos mais complexos: podem resultar que a precisão da medida seja inferior a escala do elemento de medida: Exemplos : flutuação num manômetro instalado numa tubulação causada pela variação da vazão de fluido que escoa na mesma Mudanças rápidas nas características de uma amostra( evaporação)

Algarismos significativos: regras I - O algarismo zero só é significativo se situado à direita de um outro algarismo significativo (diferente de zero) Exemplos… 0,00015 2 algarismos significativos 3600 4 algarismos significativos

Com quantas cifras significativas posso dar meu resultado???? Media da medida 15,04467???? A estimativa do erro me da quais são as cifras significativas 15,04 0,15 Estimativa do erro (geralmente com dois cifras significativas 0,15

Regras de arredondamento Como descartar as cifras não significativas Quando a cifra significativa ( posição n) é maior que 5 se acrescenta 1 na cifra n-1 Quando é menor que 5 ( posição n) , a cifra em n-1 não é alterada Quando é igual a cinco se arredonda para dar um número impar Exemplo: 15,04444±0,15 15,04 15,0583±0,15 15,06 15,0453±0,15 15,05 15,0753±0,15 15,07

Algarismos significativos: regras simplificadas II- Operações: 1) Adição e subtração - número de casas decimais igual ao da parcela com menor número de casas decimais Exemplo 1 6,4 + 3,21 + 22,15 = 31,7 ≈ 31,8 Exemplo 2 7,931 - 1,3 = 6,6 ≈ 6,6

Algarismos significativos: regras simplificadas 2) Multiplicação e divisão - mesmo número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos Exemplo 1 3,6 x 0,03 = 0, 108 ≈ 0, 1 Exemplo 2 700 : 15 = 46,6(6) ≈ 47

Equação também é valida para erros padrão e variância Para calcular em forma mais exata o número de cifras significativas de G: deveria utilizar a anterior equação

Diferenças significativas entre resultados Uso do teste-F para avaliar diferenças significativas. Havendo diferenças significativas realizam-se testes de comparação múltipla: Newman-Keuls (Newman, 1939, Keuls, 1952) Tukey (Tukey, 1953) Scheffé (Scheffé, 1953; 1959) Dunnett (Dunnett, 1955) O teste de Tukey é o mais usado.

Tratamento de dados: análise gráfica Representações gráficas são empregadas para: Ajudar a visualizar o processo Representação dos dados quantitativos , equação teórica ou empírica Comparar os dados experimentais com modelos teóricos ou empíricos

Tratamento de dados: análise gráfica A forma do gráfico traduz o tipo de relação matemática entre as variáveis Um gráfico com a forma de uma reta fornece-nos a constante de linearidade entre duas variáveis em análise

Análise gráfica: vantagens Análise da dispersão das leituras Pouco disperso Muito disperso Análise de erros no método gráfico: mínimos quadrados e coeficiente de correlação (R2)

Análise gráfica: regressão linear Inclinação da reta Intercepto Variável Independente Variável Dependente Yi=0+1Xi Yi i X Y b0 1 Coeficiente angular Ŷi=b0+b1Xi i =Yi-Ŷi Modelo estimado Resíduo

O método minimiza a somatória dos quadrados em função de a e b Análise gráfica: regressão linear( quadrados mínimos) Foram realizadas medidas de y (variável dependente) vs. x( variável independente ) Propõe -se uma equação linear Y= variável estimada ; y=variável medida O método minimiza a somatória dos quadrados em função de a e b

Encontrando os mínimos em relação as constantes Resultam os valores de a e b

Análise gráfica: regressão não-linear Modelos não-lineares: Linearizável Equação pode ser convertida em modelo linear. Não linearizável A transformada em modelo linear não é possível.

Modelos não lineares “linearizáveis” Diversos modelos: Polinomial Lei da potência Exponencial Logaritímico

Modelos não lineares: polinomial Parabólico: Cúbico e de ordens mais elevadas: Regressão linear múltipla.

Modelos não lineares: Lei da Potência Equação do tipo lei da Potência: Aplicando logaritmos:

Modelos não lineares: Exponencial Modelo de crescimento exponencial: Linearizado:

Modelos não linearizáveis Alguns modelos não podem ser linearizados. - Curva de inativação microbiana: Ou modelos de difícil linearização como resolução de equações diferenciais

Modelos não linearizáveis Parâmetros do modelo (não linear) são estimados por otimização usando critério dos mínimos quadrados Programas de quadrados mínimos não lineares: Statistica, Origin, etc.

Modelos não linearizáveis: resolvendo o problema Usando o Excel...