Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função X: W  R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x)

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y)

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por FX(x) = P(X ≤ x)

Função de Distribuição Acumulada x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 Exemplo: 1 7/8 1/2 1/8 1 2 3 Se x < 0: P(X≤x) = 0 Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8 Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

Função de Distribuição Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas FX(x) = xi  x P(X = xi) (Absolutamente) Contínuas FX(x) = xi  x fX(x) dx (onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas FX(x) = xi  x P(X = xi) + xi  x fX(x) dx (Há outras, mais patológicas …)

Exemplo 10 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 fX(x) = 1/20, se 0  x  10

Função de Distribuição Acumulada A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1  X  3) =

Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = -x f(t) dt f  0 é a densidade de X P(a < X < b) = ab f(t) dt -+ f(t) dt = 1 f(x) = F’ (x) P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)  x

Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

Solução 1 x 1

Outra solução 1 x 1

Principais Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: c2, t, F)

Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) X = 1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X  be(p)

Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k .

Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo: Notação: X  B(n, p)

Distribuição de Poisson Em média, um site de internet tem l = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?

Distribuição de Poisson Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a l, deve-se ter np = l.

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante Acessos a sites Chegadas de consumidores a um banco Número de erros tipográficos em um texto Número de partículas radioativas emitidas

Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e-0.5 = 0,395

Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (lt)

Distribuição Uniforme fX 1/(b-a) a b 1 FX a b

Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso?

Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(lt) Portanto, P(X>t) = e-lt

Distribuição Exponencial X tem distribuição exponencial com parâmetro l quando FX (x) = 1–e – lx, para x >0 Ou seja, fX(x) = le – lx , para x > 0

Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro l = 0,5. Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial (l) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (lt), onde t é o comprimento do intervalo

Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia Número médio de acidentes por semana? Número médio de dias sem acidentes por semana? Intervalo médio entre acidentes? Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a? Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?