7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO 7.1. Montante do Modelo Básico Seja um processo de capitalização em que são aplicadas parcelas iguais a R, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, refereida ao mesmo período dos termos. O problema é determinar o montante (FV), na data focal n, que resulta deste processo de capitalização. O montante FV é o resultado da soma dos montante de cada um dos termos, à taxa de juros i, na data focal n. A representação gráfica deste modelo é a seguinte: FV R R R R R R 1 2 3 4 n- 1 n

S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i FV = R . S n ┐i R = FV / S n ┐i 7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Para se calcular o montante de uma série periódica de n termos, à taxa i, temos a fórmula: S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i FV = R . S n ┐i R = FV / S n ┐i FV = PV ( 1 + i) n

S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,02 )12 - 1 ] / 0,02 7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Exercício 1: David deposita $ 1 000,00 mensalmente. Sabendo-se que ele está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em um ano? E em dois anos? FV = R . S n ┐i Onde: FV = Montante = ??? R = Depósito mensal = 1 000 i= 0,02 a.m n = 1 ano = 12 meses S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,02 )12 - 1 ] / 0,02 S n ┐i = [( 1,02 )12 - 1 ] / 0,02 S n ┐i = [( 1,27 ) - 1 ] / 0,02 FV = R . S n ┐i FV = 1 000 . 13,412090 S n ┐i = 0,27 / 0,02 FV = 13412,090 S n ┐i = 0,27 / 0,02 FV = $ 13 412,09 S n ┐i = 13,412090 David possuirá em um ano $ 13 412,09.

S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,02 )24 - 1 ] / 0,02 7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Exercício 1: David deposita $ 1 000,00 mensalmente. Sabendo-se que ele está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em um ano? E em dois anos? FV = R . S n ┐i Onde: FV = Montante = ??? R = Depósito mensal = 1 000 i= 0,02 a.m n = 2 anos = 24 meses S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,02 )24 - 1 ] / 0,02 S n ┐i = [( 1,02 )24 - 1 ] / 0,02 S n ┐i = [( 1,608437) - 1 ] / 0,02 FV = R . S n ┐i FV = 1 000 . 30,42186 S n ┐i = 0,608437 / 0,02 FV = 30 421,86 S n ┐i = 30,42186 FV = $ 30 421,86 David possuirá em dois anos $ 30 421,86.

S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,022 )12 - 1 ] / 0,022 7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Exercício 2: Ellidan deseja comprar um carro por $ 40 000,00 a vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% a.m., de juros compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. R = FV / S n┐i Onde: FV = 40 000 R = Poupança mensal= ??? i= 0,022 a.m n = 12 meses S n ┐i = [( 1 + i )n - 1 ] / i S n ┐i = [( 1 + 0,022 )12 - 1 ] / 0,022 R = FV / S n ┐i S n ┐i = [( 1,022 )12 - 1 ] / 0,022 R = 40 000/ 13,563941 S n ┐i = [( 1,298407) - 1 ] / 0,022 R = 2 948,995397 S n ┐i = 0,298407/ 0,022 R  $ 2 949,00 S n ┐i = 13,563941 Ellidan deverá fazer depósitos mensais de $ 2 949,00.

FV = PV ( 1 + i) n FV = 30 000 ( 1 + 0,03) 12 FV = 30 000 ( 1,03) 12 7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Exercício 3: Christian possui $ 30 000,00, que pode aplicar do seguinte modo: a) no Banco Alpha, que paga um juro de 3% a.m., ao fim de cada mês, devolvendo o capital no fim do 12º. Mês b) no Banco Beta, que devolve $ 42 000,00 no fim do 12º. Mês. Ajude Christian determinando a melhor aplicação. FV = PV ( 1+ i) n Banco Alpha: FV = PV ( 1 + i) n Onde: FV = ??? PV = 30 000 i= 0,03 a.m n = 12 meses FV = 30 000 ( 1 + 0,03) 12 FV = 30 000 ( 1,03) 12 FV = 30 000 ( 1,425761) FV = 42 772,83 No Banco Alpha, Christiam terá um montante de $ 42 772,83.

7. ANUIDADE PERIODICA – MONTANTE NO MODELO BÁSICO Exercício 3: Christian possui $ 30 000,00, que pode aplicar do seguinte modo: a) no Banco Alpha, que paga um juro de 3% a.m., ao fim de cada mês, devolvendo o capital no fim do 12º. Mês b) no Banco Beta, que devolve $ 42 000,00 no fim do 12º. Mês. Ajude Christian determinando a melhor aplicação. FV = PV ( 1+ i) n Banco Beta: FV = 42 000 Onde: FV = 42 000,00 No Banco Beta o exercício já demonstra que Christiam terá um montante de $ 42 000,00. Christian deve aplicar seu dinheiro no No Banco Alpha, ganhando um adicional de $ 772,83.

7. ANUIDADE PERIODICA – Utilizando a Tabela Price Exercício 4: Uma máquina de medição é vendida por $ 4 000,00 a vista ou financiada em 5 prestações mensais iguais, sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros que está sendo utilizada é de 18% a.a., tabela Price, e que a primeira prestação vence após 1 mês, pede-se: a) calcular o valor da prestação b) calcular a taxa de juros que está sendo efetivamente cobrada em termos anuais. im = taxa anual/12 meses a n┐i = [(1 +i) n] -1 / i( 1+i) n R= PV / a n┐i im = taxa anual/12 meses im = 0,18/12 im= 1,5% a.m a) Valor da prestação a n┐i = [(1 +i)^n] -1 / i( 1+i)^n a 5┐1,5 = [(1 +0,015) 5] -1 / 0,015( 1+0,015) 5 a 5┐1,5 = [(1,015) 5] -1 / 0,015( 1,015) 5 a 5┐1,5 = [1, 077284 -1] / 0,015( 1,077284) a 5┐1,5 = 0,077284 / 0,16159 a 5┐1,5 = 4,782645

7. ANUIDADE PERIODICA – Utilizando a Tabela Price Exercício 4: Uma máquina de medição é vendida por $ 4 000,00 a vista ou financiada em 5 prestações mensais iguais, sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros que está sendo utilizada é de 18% a.a., tabela Price, e que a primeira prestação vence após 1 mês, pede-se: a) calcular o valor da prestação b) calcular a taxa de juros que está sendo efetivamente cobrada em termos anuais. im = taxa anual/12 meses a n┐i = [(1 +i) n] -1 / i( 1+i) n R= PV / a n┐i PV = 40 000 R = PV / a n ┐i a) Valor da prestação R = 40 000 / 4,782645 im= 1,5% a.m R = 836,357292 a 5┐1,5 = 4,782645 R = $ 836,36 O valor da prestação será de $ 836,36.

7. ANUIDADE PERIODICA – Utilizando a Tabela Price Exercício 4: Uma máquina de medição é vendida por $ 4 000,00 a vista ou financiada em 5 prestações mensais iguais, sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros que está sendo utilizada é de 18% a.a., tabela Price, e que a primeira prestação vence após 1 mês, pede-se: a) calcular o valor da prestação b) calcular a taxa de juros que está sendo efetivamente cobrada em termos anuais. im = taxa anual/12 meses a n┐i = [(1 +i) n] -1 / i( 1+i) n R= PV / a n┐i b) Taxa efetiva if= ( 1+ i ) n - 1 if= ( 1+0,015 ) 12 - 1 if= ( 1,015 ) 12 - 1 if= 1,195618 - 1 if= 0,195618 if= 19,56 % a.a. A taxa de juros efetiva é de 19,56% a.a.

7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS São aquelas em que os termos são exigíveis, pelo menos, a partir do segundo período. Em outras palavras, o primeiro período é exigível a partir de um certo período de carência. Tudo se passa como se os termos fossem transladados de um intervalo de tempo igual à carência.

7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS Exercício 5) Talita vai receber 16 prestações iguais a $ 400,00, com um diferimento (carência) de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: a) qual o valor atuas das prestações na data zero? b) qual o montante na data focal 40? Meses ... 16 31 ... 40 1 15

7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS Exercício 5) Talita vai receber 16 prestações iguais a $ 400,00, com um diferimento (carência) de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: a) qual o valor atual das prestações na data zero? Calcular o principal na data 15: PV15 = R . a n i a n┐i = [(1 +i)^n] -1 / i( 1+i)^n a 16┐2 = [(1, 02)^16] -1 / 0,02( 1,02)^16 PV15 = 400. 13,577709 a 16┐2 = [(1, 02)^16] -1 / 0,02( 1,02)^16 PV15 = 5 431,08 a 16┐2 = 13,577709 PV15 = $ 5 431,08 Daqui há 15 meses, o valor presente nesta data será de 4 5 431,08.

Onde: FV = PV ( 1 + i) n FV = 5 431,08 PV = ??? i= 0,02 7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS Exercício 5) Talita vai receber 16 prestações iguais a $ 400,00, com um diferimento (carência) de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: b) qual o montante na data focal 40? Onde: FV = 5 431,08 PV = ??? i= 0,02 n= 15 FV = PV ( 1 + i) n PV = FV/ ( 1 + i) n PV = 5 431,08/ (1,02) 15 PV = 5 431,08/ 1,345868 PV = 4 035,38 O valor atual à taxa de 2%a.m., será de $ 4 035,38.

7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS Exercício 5) Talita vai receber 16 prestações iguais a $ 400,00, com um diferimento (carência) de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: b) qual o montante na data focal 40? FV = PV ( 1 + i) n FV = 4 035,38 ( 1, 02) 40 FV = 4 035,38 * 2,208040 FV = 8 910,28 FV = $ 8 910,28 O montante na data focal 40 será de $ 8 910,28.

400 CHS PMT CHS PV 16 n 40 n 2 i FV = 8 910,27 PV = 5 431,08 CHS FV 7. ANUIDADE PERIODICA – ANUIDADES DIFERIDAS Exercício 5) Talita vai receber 16 prestações iguais a $ 400,00, com um diferimento (carência) de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: a) qual o valor atual das prestações na data zero? b) qual o montante na data focal 40? 400 CHS PMT CHS PV 16 n 40 n 2 i FV = 8 910,27 PV = 5 431,08 CHS FV CLx PMT 15 n PV = 4 035,38