CONJUNTOS

Noções básicas Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia.   Torcedores do Ceilândia Torcedores do Brasiliense Torcedores do Gama BIRY SARKYS

Noções básicas Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8, ... BIRY SARKYS Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.  

Elementos de um conjunto O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10. ∊ 3 ∉ A Então: 1 A 1 pertence a A 3 não pertence a A

Representação de um conjunto O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9. Podemos representá-lo:  enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9} considerando uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam: A = {xx é um número ímpar menor que 10} desenhando uma figura:

Igualdade de conjuntos Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos elementos de B.  Exemplo O conjunto A contém os números naturais menores que 5. A = B O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}

Igualdade de conjuntos Quando um conjunto tem ao menos um elemento diferente dos elementos de outro conjunto, dizemos que os conjuntos são diferentes. Exemplo X = {0, 2, 3, 4, ...} X ≠ Y (X é diferente de Y) Y = {1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto universo Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.   Vamos resolver a equação x² = 4: se U = ℕ: x = 2 uma solução se U = ℤ: x = –2 ou x = 2 duas soluções

Conjunto unitário e conjunto vazio Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento. Exemplo C = {xx é um número natural primo par} = {2} Conjunto vazio, cuja notação é  ou {}, é o conjunto que não tem elementos. Exemplo B = {xx é um número primo par maior que 5} = 

Subconjuntos de um conjunto Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem a B. A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 14243 A ⊂ B ou B ⊃ A

Subconjuntos de um conjunto Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos que A não está contido em B. A = {1, 2, 3, 7} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = 0 A ⊄ B C ⊄ B C ⊄ A 1442443

Subconjuntos de um conjunto Observações O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.   Todo conjunto está contido nele mesmo.    Se A  B e B  A, então o conjunto A é igual a B.

EXERCÍCIOS Exercício resolvido 1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c}, classificar cada sentença como verdadeira ou falsa. a) A  C b) B  A c) C  A d) C  B Resolução a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A. b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A. c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C. d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.

2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo de um conjunto X, em cada caso. a) X  B b) B  X Resolução a) Se X  B, então X é um subconjunto de B. Logo, há mais de um conjunto X que obedece a essa condição. Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros. b) Se B  X, então B é um subconjunto de X. Logo, poderemos determinar infinitos exemplos para X, desde que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao conjunto X. Como exemplo, temos: X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}

Exemplos: 3. Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do conjunto: a) X = {2, 4} b) Y = {1, 3, 5} c) W = {3} d) S = { } Conclui-se que: Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1. Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2. Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4. Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8. ... Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a

3. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3) elementos. Determine o valor de x. X = 5 4. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto A é 1024, calcule o número de elementos de A. 10 elementos