Consistent Mesh Parameterizations Emil Praun Wim Sweldens Peter Schröder Princeton Bell Labs ACM SIGGRAPH 2001 Apresentado por: Karl Apaza Agüero

Motivação Processamento Geométrico Digital (DGP) – Construção de algoritmos para geometria ao estilo do Processamento Digital de Sinais – Fazer para superfícies o que o DSP faz para sons, imagens e vídeo Exemplos Eliminação de ruído Realce

Motivação Processamento Geométrico Digital (DGP) eliminação de ruído realce

Motivação Processamento Geométrico Digital (DGP) – Devido à natureza da geometria de superfícies, a construção de algoritmos DGP é mais difícil – Algoritmos DGP que envolvem diversos modelos precisam uma parametrização comum e um padrão de amostragem comum

Exemplo Computar a média É preciso uma parametrização consistente das malhas!... + ( _ 1 n ++ ) =

Parametrizações Malha semi-regular – Consiste de um domínio base irregular simples com muitos níveis de refinamento segundo alguma regra de subdivisão dada irregularsemi-regular transmissão progressivaedição hierarquica

Objetivo Parametrização consistente – mesmo domínio base – correspondências vértices arestas – triângulos exatamente traçados Dominio Base Malhas de entrada com caracteristicas Malhas Semi- Regulares Aplicações DGP

Terminologia Malha – Uma malha M é um par (P,K) P é um conjunto de n pontos em R 3 K é um complexo simplicial abstrato que contém toda a topologia –vértices {i} –arestas {i,j} –faces {i,j,k}

Terminologia Malha – As malhas semi-regulares são construídas por repetição de quadriseção de triângulos começando desde uma malha irregular grosseira N 0 =(Q 0,L 0 ) Malha semi-regular

Terminologia Domínio base – É uma malha especial B=(P,L 0 ) onde P é o conjunto de vértices (características) é L 0 representa a conectividade – Cada vértice b f das F características é dado pela sua localização canônica em R F

Método Identificar pontos característicos (usuário) Parametrizar o interior dos traços e recomputar a malha usando uma conectividade semi-regular Traçar a rede de curvas sobre a malha correspondentes às bordas do domínio base

Traçado de curvas Rede topologicamente equivalente ao domínio base – Interseção de curvas só nos vértices – Mesma ordenação de vizinhos ao redor dos vértices

Traçado de curvas Algoritmo brush fire restrito – Não cruzar outras curvas – Começar e finalizar no setor correto firewall

Traçado de curvas É importante a ordem em que os traços são feitos Para uma ordem aleatória, o algoritmo brush fire restrito não garante terminação a b c d e conectividade

Traçado de curvas Problema: cercamento a b d c e cercamento a b c d e conectividade

Traçado de curvas Solução: Não traçamos algumas curvas que poderiam completar ciclos, até que uma árvore geradora do domínio base seja traçada Isto garante que os vértices não sejam cercados durante a construção da árvore geradora Uma vez que temos a árvore, completamos a topologia do domínio base sobre a malha inicial, agregando depois as curvas restantes em alguma ordem

Critérios de qualidade Ainda, quando temos um mapeamento topologicamente equivalente, este poderia estar muito contorcido Precisamos dos seguintes critérios: – Igual distribuição de superfície de área dos triângulos traçados – Traços suaves – Triângulos exatamente traçados, em particular evitar swirling (poderiam estar virados)

Heurísticas Os pontos característicos repelem curvas que estão conectadas com outros pontos característicos Introduzir as curvas em ordem de tamanho Postergar inserção de triângulos “virados”

Repelir outras curvas Computar – I f (i) = “influência” da característica f sobre o vértice i Diagrama de contornos

Repelir outras curvas Influência das características sobre outras características – I i (i) = 1 – I i (característica j) = 0 Parametrização de outros vértices : Π(i) = Σ {j}єV(i) λ ij Π(j) Diagrama de contornos

Repelir outras curvas Mapeamento 2D ||p k -p||=||x jk -x i ||, para k = 1,...,d i ang(p k,p,p k+1 ) = 2 π ang(x jk, x i, x jk+1 ) / θ i θ i = Σ k=1 ang(x jk, x i, x jk+1 ) didi

Repelir outras curvas Área Polígono (p k+1, p k+2,..., p k-1, p) (di -2) * Área Polígono (p 1, p 2,..., p di ) λi,j k =

Repelir outras curvas Traçado de curva (a,b): brush fire com variável de velocidade de propagação 1 0 a b c i(0.2,0.1,0.4,…) a(1,0,0,0,..) b(0,1,0,0,..) c(0,0,1,..) i Prioridade P(i) = 1- I a (i) - I b (i) 0.7

Repelir outras curvas isocontornoisocontorno

Priorizar curvas por tamanho Primeira etapa: completamos a árvore geradora do domínio base Segunda etapa: completamos toda a rede Para cada etapa, temos uma fila de prioridade – A fila tem as curvas candidatas – Retraçar (achar outra curva ) as curvas candidatas que poderiam causar conflitos topológicos

Postergar inserção de triângulos virados detector swirl a b c a cb a bc OR OK flipped 

Postergar inserção de triângulos virados detector swirl ?ab c flippedac b a c b a c b ac b

Topologia válida Calcular a rota e o tamanho para cada uma das curvas que correspondem ao domínio (bordas de L 0 ) segundo o algoritmo de brush fire restrito, completando primeiro a árvore geradora do domínio base ; e ir guardando a rota e o tamanho numa fila de prioridade baseado no tamanho (a prioridade mais alta tem a curva com menor tamanho) Removemos o primeiro da fila e checamos se a rota guardada não viola as restrições dadas por outras curvas já inseridas na rede (não se cruza com outras curvas anteriormente traçadas)

Topologia válida Se se cruza, não é topologicamente válida, então temos que calcular de novo outra curva entre esses 2 pontos característicos e inserir esta novamente na fila de prioridade Se é topologicamente valida, rodamos o detector de swirl para ambos triângulos adjacentes sobre a curva. Se ao menos um falha, pomos a curva na fila de prioridade com uma penalidade. Se ambos passam, traçamos a curva na rede

Endereçamento de bordas Malha Depois que o traço da rede é completado, temos uma rede topogicamente equivalente ao domínio base Agora, endereçamos todas as curvas, garantindo que todos os triângulos tenham uma área aproximadamente igual

Endereçamento de bordas Malha Parametrização temporal 2D

Endereçamento de bordas Malha Parametrização temporal 2D

Exemplos

Exemplos

Análise de Componentes Principais

Transferência de texturas

Transferência detalhada

Morphing Cavalo.5 Homem.25 Vaca.25 Cavalo.25 Homem.25 Vaca.5 Cavalo.25 Homem.5 Vaca.25 Cavalo.33 Homem.33 Vaca.33

Referências Floater, m. S. Parameterization and Smooth Approximation of Surface Triangulations. Computer Aided Geometric Design Guskov, I., Vidimce K., Sweldens, W., and Schröder, P. Normal Meshes. Proceedings of SIGGRAPH 2000.