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1ª Prova – 7 de junho Fundamentos de metrologia científica e industrial Albertazzi e Souza

Quanto a erros de medição ... Precisão e exatidão são termos apenas qualitativos. Não podem ser associados a números. Precisão significa pouca dispersão. Está associado ao baixo nível de erros aleatórios. Exatidão é sinônimo de “sem erros”. Um sistema de medição com grande exatidão apresenta pequenos erros sistemáticos e aleatórios.

Um exemplo de erros... Teste de precisão de tiro de canhões: Canhão situado a 500 m de alvo fixo; Mirar apenas uma vez; Disparar 20 tiros sem nova chance para refazer a mira; Distribuição dos tiros no alvo é usada para qualificar canhões. Quatro concorrentes:

A B D C

Ea Ea Es Es A B D C Ea Ea Es Es

Tipos de erros Erro sistemático: é a parcela previsível do erro. Corresponde ao erro médio. Erro aleatório: é a parcela imprevisível do erro. É o agente que faz com que medições repetidas levem a distintas indicações.

Precisão & Exatidão São parâmetros qualitativos associados ao desempenho de um sistema. Um sistema com ótima precisão repete bem, com pequena dispersão. Um sistema com excelente exatidão praticamente não apresenta erros.

Representação absoluta e relativa

Representação absoluta Parâmetros expressos na unidade do mensurando: Emáx = 0,003 V Re = 1,5 K Sb = 0,040 mm/N É de percepção mais fácil.

Representação relativa ou fiducial Parâmetro é expresso como um percentual de um valor de referência Em relação ao valor final de escala (VFE) Emáx = 1% do VFE EL = 0,1% (do VFE) Em relação à faixa de indicação Em relação ao valor nominal (medidas materializadas) Facilita comparações entre SM distintos

Características estáticas e dinâmicas de instrumentos Um sistema de medição, devido aos seus diversos elementos, sempre apresenta incertezas nos valores medidos. Todo sistema de medição está sujeito a erros, o que torna um sistema melhor em relação ao outro é diminuição desse erro a níveis que sejam aceitáveis para a aplicação.  

Calibração e padrões de medidas Todo instrumento de medição e conseqüentemente todo sistema de medição deve ser calibrado ou aferido para que forneça medidas corretas. A calibração é o processo de verificação de um sistema de medição contra um padrão que pode ser primário ou secundário.   O padrão primário é definido por entidades especializadas, renomados institutos de pesquisa ou entidades governamentais especificas de cada país. Devido a RASTREABILIDADE das medições , dificilmente se faz na prática a calibração pelo padrão primário.

? RASTREÁVEL definições das unidades do SI PPPP ± 0,000005 mm 1/10 PPP SM ± 0,05 mm

Rastreabilidade É a propriedade do resultado de uma medição, ou do valor de um padrão, estar relacionado a referências estabelecidas, geralmente padrões nacionais ou internacionais, através de uma cadeia contínua de comparações, todas tendo incertezas estabelecidas.

Rastreabilidade unidades do SI BIPM padrões internacionais LNM Calibração padrões nacionais Ensaios Indústria e outros padrões de referência de laboratórios de calibração padrões de referência de laboratórios de ensaios padrões de trabalho de laboratórios de chão de fábrica

Estatística aplicada a sistemas de medição Cálculo de incerteza de grandezas com várias medidas :   Valor médio das medidas desvio padrão da amostra Ii i-ésima indicação média das "n" indicações n número de medições repetitivas efetuadas

Valor da medida e sua incerteza :   Exemplo : Medição do diâmetro de uma barra circular : São efetuadas n medidas em diâmetros diferentes: 10,14 mm 10,12 mm 10,15 mm 10,18 mm 10,16 mm 10,13 mm 10,17 mm u = 0,0165 mm  = 12 - 1 = 11 t = 2,255 Re = 2,255 . 0,0165 média: 10,15 mm Re = 0,037 mm

Valor da medida e sua incerteza :   Exemplo : Medição do diâmetro de uma barra circular : +0,037 -0,037 10,15 10,15

Estimativa da Incerteza em Medições não Correlacionadas (MNC) b ± u(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± u(c) A = b . c u(A) = ?

Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente

Exemplo: Caso Geral de MNC Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:

Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = ∞ Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14 h D

Massa Específica h D

Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

Valor da massa específica: U() = 2,20 . u() U() = 2,20 . 0,000256312 = 0,00056389 g/mm3  = (0,0402  0,0006) g/mm3

Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)

Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC) Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

Medições correlacionadas e não correlacionadas Para múltiplos termos: C D B A G = A + B + C + D r A B C D +1 -1

Medições correlacionadas e não correlacionadas

Medições correlacionadas e não correlacionadas

Propagação de Incertezas Através de Módulos

Motivação Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido módulos já existentes. O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido separadamente. Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação dos vários módulos?

? Transdutores UTS Dispositivos mostradores 0.000 0.000 0.000 0.000 6.414

Composição de sistemas de medição sistema de medição Módulo 1 Módulo 2 Módulo n ... ESM SSM

Modelo matemático para um módulo S(M1) Idealmente: K(M1) : sensibilidade C(M1) : correção u(M1) : incerteza padrão S(M1) = K(M1) . E(M1) Em função dos erros: S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)

Modelo para dois módulos E(M1) S(M2) E(M2) S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1) S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2) E(M2) = S(M1) S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2) S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]

Modelo matemático para n módulos Sensibilidade Equivalente Modelo matemático para n módulos Módulo 1 ... Módulo 2 Módulo n E(SM) S(SM) K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn) sensibilidade S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM) K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)

Modelo matemático para n módulos Correção Relativa Equivalente Modelo matemático para n módulos correção Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn) sendo: Cr = correção relativa, calculada por: para o módulo “k” para o sistema de medição CE(SM) = correção na entrada do SM CS(SM) = correção na saída do SM

Modelo matemático para n módulos Incerteza Padrão Relativa Equivalente Modelo matemático para n módulos incerteza ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2 sendo: ur = incerteza relativa, calculada por: para o módulo “k” para o sistema de medição uE(SM) = incerteza na entrada do SM uS(SM) = incerteza na saída do SM

Modelo matemático para n módulos graus de liberdade efetivos sendo: número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo

Modelo matemático para n módulos Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2 para o módulo “k” para o sistema de medição

Correção e Incerteza Correção e Incerteza em Termos Absolutos Na entrada do SM: Na saída do SM:

Problema: A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de: transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V

transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V transd. indutivo de deslocamentos faixa de medição: 0 a 20 mm sensibilidade: 5 mV/mm correção: - 1 mV u = 2 mV ν=16 unidade de tratamento de sinais faixa de medição: ± 200 mV (entrada) amplificação: 100 X correção: 0,000 V u = 0,2 % (VFE) ν=20 disp. mostrador: voltímetro digital faixa de medição: ± 20 V correção: 0,02% do valor indicado u = 5 mV ν=96

5,00 mm 25,00 mV 2,500 V transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V KT = 5 mV/mm CT = - 1 mV uT = 2 mV KUTS = 0,1 V/mV CUTS = 0,000 V uUTS = 0,2 % . 0,20 V KDM = 1 V/V CDM = 0,02 % . 2,5V uDM = 5 mV CrT = - 1/25 = -0,04 urT = 2 /25 = 0,08 CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002 urDM = 0,005/2,5 = 0,002 CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,00016

sensibilidade KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V KSM = 0,5 V/mm correção CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002 CrSM = -0,0398 na entrada: CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm CESM = -0,199 mm

incerteza (urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2 (urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2 (urSM)2 = 10-4 . [64 + 0,00026 + 0,04] urSM = 0,080025 na entrada: uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm uESM = 0,4001 mm

graus de liberdade efetivos UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm

Resultado da medição RM = I + CESM ± UESM RM = (4,80 ± 0,87) mm

Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição. Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.

Equacionamento: Q Qi l/s 0,09 0,20 0,31 0,30 0,39 0,40 0,48 0,50 0,57 0,60 0,65 0,70 0,74 0,80 0,84 0,91 0,93 1,00 Qi = 1,105 . Q - 0,0246 Q = 0,902 . Qi + 0,0232

Bibliografia: ALBERTAZZI, A.; SOUZA, A. R.; Fundamentos Metrologia Científica e Industrial”. 407p., Editora Manole, 2008. (Slides PowerPoint® 2003) DOEBELIN, E., Measurement Systems - Application and Design, Ed. McGraw Hill 4th Edition, 1992. BALBINOT, A.; BRUSAMARELLO, V. J.; Instrumentação e fundamentos de medidas, volume 1 e 2, 2010. Notas de aula Prof. Marcos Campos (UFPR)