EQUAÇÕES A primeira referência histórica que temos sobre equações refere-se ao papiro de Rhind, um dos documentos matemáticos dos antigos egípcios. Sabe-se que os egípcios não utilizavam a notação algébrica, o que tornava a solução de equações cansativas e complexas. Já os gregos resolviam equações através da Geometria.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU - DEFINIÇÃO Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denomidada equação. Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita. A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da equação (ou igualdade). A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

Equações e Sistemas de 1º Grau Matemática Equações e Sistemas de 1º Grau Aquelas equações que podem ser colocadas na forma: ax + b = 0 com a  0, são chamadas equações do 1º Grau.   Na solução de certos problemas a linguagem algébrica e as equações são instrumentos indispensáveis.

Equações e Sistemas de 1º Grau Matemática Equações e Sistemas de 1º Grau Exemplo:  1) O triplo de um número natural, somado a seu antecessor, é igual ao dobro desse número. Qual é esse número?  3x + (x - 1) = 2x 3x + x - 1 = 2x 4x - 2x - 1 = 0 2x = 1 x = ½

2) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número? Solução: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100 Resposta: Esse número é 100.

Matemática Sistemas de 1º Grau com duas variáveis Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo,significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema.   Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.  

Sistemas de 1º Grau com duas variáveis Matemática Sistemas de 1º Grau com duas variáveis  Qual o par ordenado (x,y) que é a solução do sistema ?

Equações e Sistemas de 2º Grau Matemática Equações e Sistemas de 2º Grau Aquelas equações que podem ser reduzidas à forma : ax2 + bx + c = 0, com a  0, são chamadas Equações do 2º Grau. A igualdade x2 = 9 é também uma equação. Como o expoente da variável x é 2, dizemos que é uma equação de 2º Grau.  

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.      - a    é sempre o coeficiente de  x²;    - b    é sempre o coeficiente de x,    - c    é o coeficiente ou termo independente.

Equações e Sistemas de 2º Grau Matemática Equações e Sistemas de 2º Grau A fórmula resolutiva das equações de 2º Grau é chamada fórmula de Bháskara. onde  é o Discriminante da equação  = b2 - 4 . a . c  

Raízes de uma equação do 2º grau Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

Exemplo: Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0. Solução: Substituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.

Resumindo   Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:   Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.   Para , a equação tem duas raízes reais iguais.   Para , a equação não tem raízes reais.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Observe as seguintes relações: Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

Exercícios: 1) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ? 2) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos? 3) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros. 4) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

5) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica? 6) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas? 7) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras? 8) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

9) Resolva as equações : a) x2 – 12x + 35 = 0 b) x2 + 6x + 5 = 0 c) x2 – 10x + 24 = 0 d) x2 – 14x = 0 e) x2 – 169 = 0 f) x2 – 5x = 0 g) x2 – 3x – 4 = 0

10) Uma mãe tem o triplo da idade de sua filha 10) Uma mãe tem o triplo da idade de sua filha. Há dez anos, ela tinha sete vezes a idade da filha. Qual a idade da mãe e da filha? 11) Compramos 6 kg de chá e 4 kg de café por um preço total de 16,60 reais. Sabendo que 4 kg de chá mais 2 kg de café custam 9,40 reais, calcular o preço do kg de chá e o de café.

FIM