Dinâmica Populacional Modelo de Malthus Modelo de Verhulst Problema em estudo Resolução do Problema Programa em Matlab Resultados Conclusão

Modelo Malthus Segundo Malthus a velocidade de crescimento da população é directamente proporcional ao seu tamanho. Velocidade de crescimento de uma população t – tempo que passa ao longo da experiência (variável independente) p – tamanho populacional (variável dependente)

Modelo Verhulst Generalização do modelo de Malthus tendo em consideração a COMPETITIVIDADE inevitável entre elementos de uma população.

Problema em estudo Numa altura em que assuntos como a evolução das espécies e tão abordado ao nível da própria extinção das mesmas, gostaríamos de observar como poderiam estes métodos e este tipo de estudo ajudar a retirar informações para esta matéria que vem sendo tratada cada vez com maior intensidade. Foi com este intuito que escolhemos estudar uma população de mochos, segundo os métodos que dispomos. Saber como a população evoluiu e se alterou do ponto de vista da sua dinâmica de crescimento e tenderá a modificar-se no futuro.

Resolução do Problema

Programa em Matlab clear; T_inicial=0 T_final=25 P_inicial=2 % milhares de mochos tol=1.e-3 [t,p]=ode23('malthus',T_inicial,T_final,P_inicial,tol) plot(t,p,'-',t,p,'o'); title ('Evolução da população pelo modelo de Malthus (ODE23)'); xlabel ( 'Tempo Ti=0, Tf=25' ); ylabel ( 'População P(0)=2 milhares de mochos' ); pause [T,P]=ode45('malthus',T_inicial,T_final,P_inicial,tol) plot(T,P,'-',T,P,'*'); title ('Evolução da população pelo modelo de Malthus (ODE45)'); plot(t,p,'-',t,P,'b*') title('Comparação entre os resultados obtidos para os 2 integradores') [t1,p1]=ode23('verhulst',T_inicial,T_final,P_inicial,tol) plot(t1,p1,'-',t1,p1,'o'); title ('Evolução da população pelo modelo de Verhulst (ODE23)');

[T1,P1]=ode45('verhulst',T_inicial,T_final,P_inicial,tol) plot(T1,P1,'-',T1,P1,'*'); title ('Evolução da população pelo modelo de Verhulst (ODE45)'); xlabel ( 'Tempo Ti=0, Tf=25' ); ylabel ( 'População P(0)=2 milhares de mochos' ); pause plot(t1,p1,'-',T1,P1,'b*') title('Comparação entre os resultados obtidos para os 2 integradores') plot(t1,p1,'-',t,p,'b*') title('Comparação dos 2 modelos (aplicando ODE23)') plot(T1,P1,'-',T,P,'b*') title('Comparação dos 2 modelos (aplicando ODE45)')

Ficheiro Malthus.m % Esta função aplica o modelo de Malthus function pM=malthus(t,p) % t: tempo(escalar) % p: vector coluna da solução k=0.02; % taxa de crescimento da população pM=k*p; Ficheiro Verhulst.m % Esta funçao vai aplicar o modelo de Verhulst function pV=Verhulst (t,p) c=1; % considerarmos este valor já que este minimizaria o coeficiente de competição %entre os indivíduos, tal como consideramos que acontece na nossa população. a=(k+c/2); b=(c/2); pV=a*p-b*(p.^2);

Resultados (Modelo Malthus)

Resultados (Modelo Verhulst)

Malthus vs Verhulst

Conclusão Modelo de Malthus: população estritamente crescente População final=3297 Modelo de Verhulst: população decrescente População final=1040