Decidibilidade, Corretude, Completude, Consistência Lógica de Predicados Decidibilidade, Corretude, Completude, Consistência

Como avaliar sistemas de dedução?? Avaliação do algoritmo Finitude Complexidade Avaliação da capacidade de inferência Qualidade: Consistência Eficiência: Completude

Avaliação do algoritmo de dedução Análise de lógicas Finitude = Decidibilidade Tem a ver com teoria da computação Computabilidade, Máquinas de Turing, funções recursivas, ... Análise para métodos de dedução Correção Completude Consistência

Computabilidade Intuitivamente uma função é dita computável se é possível calcular seu valor, dado qualquer elemento do seu domínio Será toda função, bem definida, computável? NEM SEMPRE!!!

Decidibilidade Caso particular de computabilidade quando a função só admite dois valores É possível resolver um problema algoritmicamente (insolubilidade)? Quando se fala se um problema é solúvel tem-se um problema de decidibilidade Trata-se de saber se um algoritmo acaba Devolvendo uma resposta, no nosso caso, T ou F Há lógicas que são assim!!

Complexidade Computabilidade diz respeito a se um problema pode ou não ser resolvido Complexidade diz respeito à quantidade de recursos necessários para resolver um problema Os recursos (normalmente) são: Memória Tempo Porém... Complexidade não será analisada nesse curso 

E para sistemas de dedução? Desejamos que nossos sistemas de dedução tenham certas propriedades... Quais?? Relembrando conceitos Tautologia Teorema Contradição

Avaliando sistemas de dedução Queremos que o nosso sistema de dedução hipotético SD seja correto, completo e consistente Que danado é isso???

Correto Correto: Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças! Seja realmente dedutível a partir de S! Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!

Completo e Consistente Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD Consistente: Não seja possível gerar contradições usando SD

Teorema da corretude Se b├SD H, então b├ H Um sistema de dedução SD é correto se satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo  Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b a partir de SD, H é realmente conseqüência lógica de b Se b├SD H, então b├ H SD só deduz fórmulas corretas!!

Teorema da correção (cont.) Outra forma de dizer: Se H é um teorema em SD (├SD H) então H é uma tautologia Intuitivamente, se H é dedutível a partir de nenhuma sentença, H não depende de nenhuma interpretação para ser sempre verdadeira!

Teorema da completude Se b├ H, então b├SD H Um sistema de dedução SD é completo se satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo  Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b, H também é conseqüência lógica de b a partir de SD Se b├ H, então b├SD H Toda fórmula dedutível também é dedutível por SD!!

Teorema da completude (cont.) Outra forma de dizer: Se H é uma tautologia então H é um teorema em SD (├SD H) Intuitivamente, se H é sempre verdadeira, ela deve ser dedutível sem nenhuma premissa H não depende de nenhuma interpretação de nenhuma sentença para ser sempre verdadeira!

Teorema da Consistência Um sistema de dedução SD é consistente sse não é possível deduzir usando SD duas fórmulas que se contradizem Não é possível ├SD H e ├SD H

Prova de Consistência Se ├SD H, pelo teorema da correção H é tautologia D H é contraditória Não é possível ├SD H, pois H seria uma tautologia Não é possível que H e H sejam tautologias

Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas b é consistente sse não existir uma fórmula H de forma a b├ H e b├ H Não é possível deduzir H e H a partir de b Teorema da Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas é consistente sse for satisfatível

Demonstração em 2 passos Se um conjunto de fórmulas b é consistente então não existe uma fórmula H de forma a b├ H e b├ H Se não existir uma fórmula H de forma a b├ H e b├ H então b é consistente

Demonstração do passo 1 Se b é consistente então não é possível b├ H e b├ H Se, por absurdo, b for insatisfatível Não existe I que satisfaz b e I[H] = F e I[H] = F Pelos teoremas da correção e completude b├ H e b├ H, que é uma contradição!

Demonstração do passo 2 Se b é satisfatível então existe I que satisfaz b Se, por absurdo, b for inconsistente Existe H tal que b├ H e b├ H Pelo teorema da correção H e H são conseqüências lógicas de b Como I que satisfaz b, I[H] = I[H] = T, que é uma contradição!

Métodos vistos Dedução natural Tableaux semânticos Resolução Corretude, completude e consistência?

A Dedução natural é Correta Se H é um teorema em DN (├DN H) então H é uma tautologia. Isto é verdade? Para toda interpretação I, se I satisfaz b e b├ H, então I[H]=T Logo, não existe I que satisfaz b e I[H]=F Se b é vazio (teorema), I satisfaz H e I[H]=T para todo I Então H é uma tautologia

Dedução natural Consistente Completa Não é possível introduzir “passos inválidos” numa prova por DN Completa Regras de introdução e eliminação são completas para Lógica Proposicional

Métodos por refutação Tableaux semânticos e Resolução Corretos: Se H é um teorema em DN (├T H) então H é uma tautologia. Isto é verdade? O próprio método de prova foi feito para provar tautologias

Métodos por refutação Consistência depende de corretude Ver prova em [Fitting 90] Um conjunto arbitrário de fórmulas proposicionais S pode ser uma propriedade consistente proposicional sse Não contiver contradições Não for vazio ou infinito ... Uma fórmula de S é satisfatível Tableaux semânticos e expansões por resolução são propriedades consistentes proposicionais