Escolha sob Incerteza Prof. João Manoel Pinho de Mello Depto. de Economia, PUC-Rio Agosto, 2008

Referência: capítulo 12, Varian

Consumo contingente O consumo não é certo Dependendo do estado da natureza (da contingência), o consumo é diferente O consumidor enfrenta uma distribuição de probabilidade Teoria do consumidor normal: Consumidores escolhem cestas de bens Teoria do Escolha sob Incerteza: Consumidores escolhem loterias, ou distribuições de probabilidade

Os conceitos Loterias Utilidade esperada Atitude frente ao risco Mensuração de aversão ao risco

Loterias

Exemplo Você tem R$ Sai cara (com probabilidade ½) você perde R$ Sai coroa (com probabilidade ½) você não perde os R$5.000 Se você pagar R$1.000, você diminui a chance de coroa para ⅛ Loteria 1: ( e ½ ;5.000 e ½) Loteria 2: (8.000 e ⅞;3.000 e ⅛) Qual você prefere?

Jargão Loteria = distribuição de probabilidade Estados da natureza Cara Coroa Consumo contingente Na loteria 1, o consumo é 10,000 contingente a sair cara Na loteria 2, o consumo é 5,000 contingente a sair coroa

Outro exemplo Você tem R$ de patrimônio estão na forma de um carro Com probabilidade p  (0,1), o carro é roubado Mas você pode fazer um seguro, pagando  reais por cada real segurado Seja K a quantidade segurada (valor do carro menos a franquia) Loteria 1 (comprando K de seguro) ( K -  K, p; –  K, 1 - p) Loteria 2 (sem seguro) (25.000, p; , 1 - p)

Outro exemplo Estados da natureza Consumo contingentes

Seguro e transferência de consumo Voltando ao exemplo anterior. Você pode comprar unidades de consumo, por  por unidade de seguro comprado O seguro permite transferir consumo do estado da natureza “não roubo” para o estado da natureza “roubo” Seja C R o consumo quando há roubo e C NR o consumo quando não há roubo Seja K a quantidade de seguro comprada

Seguro e transferência de consumo Comprando seguro (C R = K –  K; C NR = –  K) Sem comprar seguro (dotação inicial) (C R = ; C NR = ) C NR CRCR  K 25 + (1 -  )K Dotação inicial Cesta de compra K de seguro Vender seguro 35 –  Seguro completo, sem franquia Segurar mais do que o valor do carro

Seguro e transferência de consumo Seja θ a inclinação da linha Pense em consumo no estado não roubo (C NR ) e no estado roubo (C NR ) como dois bens quaisquer. Pense em como o preço relativo

Seguro e transferência de consumo Aí temos uma restrição orçamentária igual ao que tínhamos na Teoria do Consumidor normal Nos falta Uma teoria razoável de preferência a respeito de diferentes teorias Colocar as curvas de indiferença Dizer algo sobre como este preço relativo aparece

Colocar as curvas de indiferença C NR CRCR

Teoria da Utilidade Esperada

Preferência a respeito de loterias Missão: “colocar as curvas de indiferença” Em Teoria do Consumidor normal, geralmente pensávamos que preferências razoáveis seriam: Crescentes nas quantidades de cada bem Mas à taxas decrescentes Agora vamos impor mais estrutura Quer dizer: exigir mais coisas de uma preferência razoável

Utilidade esperada: idéias gerais A cesta de bens é o consumo contingente em cada estado da natureza: (C 1, C 2 ) Probabilidades dos estados da natureza: π 1 e π 2, que somam 1 Gostaríamos que nossa teoria (modelo) para escolha sob incerteza tivesse as seguintes características: Eu valorizo mais consumo em estados mais prováveis Eu gostaria de muito mais consumo em um estado improvável para abrir mão de um pouco de consumo em um estado provável Minha atitude frente ao risco seja facilmente caracterizável a partir de minhas preferências

Preferências sobre loterias: o modelo geral Dois estados da natureza, mutuamente exclusivos e exaustivos: 1 e 2 Consumo contingente: (C 1, C 2 ) Probabilidades: π 1 e π 2, π 1 + π 2 = 1 Utilidade, formato geral: Consumo contingente, os bens probabilidades, os parâmetros

Exemplos de preferências

Utilidade esperada Preferências sobre loterias estão na forma de utilidade esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u() Também chamada de utilidade de von Neumann- Morgenstern A função u() é chamada de utilidade de Bernoulli

Utilidade esperada: forma versus representação Preferências representam preferências de utilidade esperada se podem ser transformadas para a forma de utilidade esperada através de transformações monótonas está na forma de utilidade esperada não está na forma de utilidade esperada Mas representa preferências de utilidade esperada porque pode ser transformada na forma de utilidade esperada por transformações monótonas (em realidade só uma é necessária)

Utilidade esperada: forma versus representação Exemplos: Está na forma de utilidade esperada? Representa utilidade esperada? Está na forma de utilidade esperada? Representa utilidade esperada?

Utilidade esperada: bom modelo? Para estar na forma de utilidade esperada é crucial que Seja separável nos consumos nos estados da natureza Utilidade do consumo se chove não depende da quantidade de consumo se faz sol O que não ocorreu não importa Chove, faz sol ou vai para SP no fim de semana Café, açúcar e água Chama-se isto de suposição de independência Que a função u seja a mesma Suponha eventos equiprováveis A utilidade de consumir se faz sol é igual à utilidade de consumir se chove Utilidade dependente do estado

Independência Três estados da natureza: 1, 2 e 3. A escolha entre o bem 1 (c 1 ) e o bem 2 (c 2 ) é dada pela Taxa Marginal de Substituição: Considere:

Independência Não depende de c 3

Atitude frente ao risco

Você gosta de risco? Eu tenho uma moeda justa que: Se sai cara, você ganha Se sai coroa: você não ganha nada Quanto você estaria disposto a pagar pelo direito de jogar esta moeda? O que você prefere? Uma moeda que paga 0 com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½ Uma moeda que paga com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½ Uma moeda que paga com probabilidade ½, e reais com probabilidade ½

Utilidade da média versus média das utilidades Loteria: 0 com probabilidade ½, com probabilidade ½ Suponha que: Então o agente é dito avesso ao risco Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma loteria que paga com certeza Utilidade média (ou esperada)

Aversão ao risco Utils $ u(·)u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli

Amor ao risco Utils $ u(·)u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Utilidade média u(5.000) = utilidade da média Função de Bernoulli

Neutralidade ao risco Utils $ u(·)u(·) ½u(0) + ½u(10.000) u(5.000) = Função de Bernoulli

Resumo Se a utilidade de Bernoulli u(·) é côncava (u’’ < 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c ½ Se a utilidade de Bernoulli u(·) é convexa (u’’ > 0), então o agente é amante do risco Exemplo u(c) = exp(c), u(c) = c 2 Se a utilidade de Bernoulli u(·) é linear (u’’ = 0), então o agente é neutro ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 10+34c

Exemplo: demanda por seguro Exemplo anterior: patrimônio, em um carro, que é roubado com probabilidade p Pode comprar seguro por γ por unidade segurada Problema: quanto segurar (K)

Exemplo: demanda por seguro CPO Suponha que o seguro seja “atuarialmente” justo, ou seja, p = γ. Isto implica que a CPO se reduz a

Exemplo: demanda por seguro Suponha que u’’ < 0 (agente avesso ao risco) → Então u’ é decrescente Para que é preciso que 25 + (1 – γ)K = 35 – γK → K = 10 O que isto significa?

Exemplo: demanda por seguro Checando a condição de 2ª ordem O que ocorreria se u´´ > 0, ou seja, se o agente é amante do risco?

Mensuração da aversão ao risco

Aversão ao risco Na maioria esmagadora das situações imaginamos que os agentes não gostam de risco Geralmente os agentes “neutros” ao risco o são porque em realidade não enfrentam risco Seguradoras e a Lei dos Grandes Números

Quanto? u’’ nos diz que o agente é avesso ao risco Mas quanto? Curvatura de u Os coeficientes de aversão relativa e absoluta ao risco Equivalente em certeza Prêmio de probabilidade

Equivalente em certeza Suponha que você tem uma loteria que paga: K 1 com probabilidade p K 2 com probabilidade 1 – p K 1 > K 2 > 0 O equivalente em certeza é

Equivalente em certeza Se EC < pK 1 + (1 – p)K 2, então o agente é avesso ao risco Se dois agentes i e j têm equivalentes em certeza tais que EC i < EC j diz-se que i é mais avesso ao risco que j O equivalente em certeza é quanto você está disposto a abrir mão de média para evitar o risco A idéia pode ser generalizada para qualquer loteria L

Equivalente em certeza Utils $ u(·)u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Função de Bernoulli Equivalente em certeza ECEC

Curvatura Utils $ u(·)u(·) ½u(0) + ½u(10.000) Equivalente em certeza EC Equivalente em certeza u(·)

O coeficiente de aversão absoluta ao risco Defina: ρ a é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades

O coeficiente de aversão absoluta ao risco Se u é tal que ρ r (w) é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 100 da riqueza (w) com probabilidade e ganha 100 com probabilidade ½ não muda com w Exemplo: u(w) = exp(-ηw)

O coeficiente de aversão relativa ao risco Defina: ρ r é chamado de coeficiente de aversão relativa ao risco Como no caso de ρ a, a divisão pela primeira derivada faz com que o índice seja insensível à unidade de mensuração de w Exemplo: u(w) = c 1-σ /(1-σ)

O coeficiente de aversão relativa ao risco Se u é tal que ρ r (w) é constante em w então, diz-se que o agente tem aversão relativa ao risco constante Sua atitude frente ao risco de uma loteria que ele perde 10% da riqueza (w) com probabilidade e ganha 10% com probabilidade ½ não muda com w