Modelos ARIMA Rodrigo Gabriel de Miranda Robert Samohyl

Introdução Os modelos ARIMA fazem parte da classe de modelos univariados. Início 70’s Auto-Regressivo Integrado de Médias Móveis)Definição ARIMA ( Auto-Regressivo Integrado de Médias Móveis)

Metodologia Box-Jenkins Fase 1 – Identificação Preparação dos dados Transformar os dados para estabilizar a variância Diferenciar os dados para estacionar a série Seleção do modelo Examinar os dados, FAC e FACP para identificar os modelos potenciais

Séries não estacionárias Exemplos de séries não estacionárias

Função de Autocorrelação (FAC) Função Intervalo de confiança (aproximação)

Função de Autocorrelação Parcial (FACP) Mede o grau de associação de entre Y t e Y t-k, quando o efeito de outras defasagens no tempo – 1,2,3,...,k-1 – são removidos Ex. Se existir uma autocorrelação entre Y t e Y t-1, então existe uma correlação entre entre Y t-1 e Y t-2. Consequentemente existe uma correlaçao entre Y t e Y t-2, pois ambos estão relacionadas a Y t-1.

Exemplo – pib da industria Produção industrial (índice) Fonte: IBGE Série: ,

FAC para uma série não estacionária O primeiro coeficiente de autocorrelação é grande As autocorrelações decaem lentamente

FACP para uma série não estacionária O FACP apresenta um prego perto do valor 1 para uma defasagem.

Dicas para estacionar a série Os dois exemplos são de séries já estacionárias. A primeira é uma série não sazonal com média constante A segunda é uma série com sazonalidade aditiva e média constante

Dicas para estacionar a série As séries não são estacionárias na média (tendência linear e tendência linear com sazonalidade aditiva) Transformação: primeira diferença Y’ = Y t – Y t-1

Dicas para estacionar a série Série não estacionária na média e na variância Série com tendência linear e sazonalidade multiplicativa. Transformação: primeira diferença do ln Y’ = ln(Y t )-ln(Y t-1 )

Dicas para estacionar a série As séries não são estacionárias na média Série com tendência quadrática Transformação: segunda diferença Y’’ = Y’ t – Y’ t-1 = (Y t – Y t-1 ) – (Y t-1 – Y t-2 ) = Y t – 2Y t-1 + Y t-2

Dicas para estacionar a série Série não estacionária na média e na variância Série com tendência quadrática e sazonalidade multiplicativa. Transformação: segunda diferença do ln

Exemplo – transformação: primeira diferença (série) Transformado Original

Exemplo – transformação: primeira diferença (FAC) TransformadoOriginal

Exemplo – transformação: primeira diferença (FACP) TransformadoOriginal

Modelo AR(1) ou ARIMA (1,0,0) Modelo auto regressivo de ordem 1

Modelo AR(2) ou ARIMA (2,0,0) Modelo auto regressivo de ordem 2

Modelo MA(1) ou ARIMA (0,0,1) Modelo de médias móveis de grau 1Modelo de médias móveis de grau 1

Modelo MA(2) ou ARIMA (0,0,2) Modelo de médias móveis de grau 2Modelo de médias móveis de grau 2

Modelo ARIMA (1,0,1) Modelo misto AR(1), MA(1)Modelo misto AR(1), MA(1) Genericamente os modelos ARIMA são definir por ARIMA(p,d,q)Genericamente os modelos ARIMA são definir por ARIMA(p,d,q) p – número de termos auto regressivos(defasagens no lado direito da equaçãop – número de termos auto regressivos(defasagens no lado direito da equação d – número de diferenças para estacionar a séried – número de diferenças para estacionar a série q – número de médias móveis (erros defasados no lado direito da equação)q – número de médias móveis (erros defasados no lado direito da equação) AR1 = -0.6, MA1 = 0.3 AR1 = 0.9, MA1 = -0.7

FAC e FACP – ARIMA(1,0,1) AR1 = -0.6, MA1 = 0.3 AR1 = 0.9, MA1 = -0.7

Identificação de modelos AR ou MA puros Decai exponencialmente ou uma curva de sino amortecida. O padrão exato depende do valor e sinal de θ θ p Prego nas defasagens de 1 até q, depois corta para zero MA(q) Prego nas defasagens de 1 até p, depois corta para zero Decai exponencialmente ou uma curva de sino amortecida. O padrão exato depende do valor e sinal de φ φ p AR(p) FACPFACProcesso

Identificação ARIMA De acordo a tabela anterior verificar se o modelo é um AR ou MA puro ARMA(p,q) Queda gradual ou pregos bem definidos em ambos os CORRELOGRAMAS

Modelo ARIMA sazonal Notação: SARIMA (0,0,0) (1,0,0) 12Notação: SARIMA (0,0,0) (1,0,0) 12 Notação: SARIMA (0,0,0) (0,0,1) 12Notação: SARIMA (0,0,0) (0,0,1) 12 Generalizando: Sarima(p,d,q)(P,D,Q) sGeneralizando: Sarima(p,d,q)(P,D,Q) s P - número de termos auto regressivos sazonais (defasagens no lado direito da equação)P - número de termos auto regressivos sazonais (defasagens no lado direito da equação) d – número de diferenças sazonaisd – número de diferenças sazonais q – número de médias móveis sazonais (erros defasados no lado direito da equação)q – número de médias móveis sazonais (erros defasados no lado direito da equação) s – ciclo sazonals – ciclo sazonal

Exemplo: identificação Modelo possível ARIMA(1,1,0)(1,0,1) 12 Primeira diferença do pib ind

Metodologia Box-Jenkins Fase 2 – Estimação e teste Estimação Estimar parâmetros dos modelos potenciais Selecionar o melhor modelo por algum critério Diagnóstico Checar a FAC e FACP dos resíduos Verificar de os resíduos possuem distribuição normal, com média zero e variância constante

Estimação dos parâmetros Nos modelos ARIMA a estimação através de uma função de verossimilhança Para o exemplo anterior: Y’ t = φ 1 Y’ t-1 + φ 2 Y’ t-12 + θ 1 e t-12 + e t Y’ t = Y t – Y t-1 Y’ t = Y’ t Y’ t e t-12 s.e sigma^2 estimated as 10.16: log likelihood = , aic =

Selecionar modelo AIC – critério de informação de AKaike AIC = -2logL+2m L – verossimilhança m = p+q+P+Q Este critério penaliza os modelos com maior número de variáveis Selecionar o modelos com menor AIC.

Checar o FAC e FACP dos resíduos(exemplo) Não deve existir nenhuma altocorrelação nos resíduos Se isto ocorrer outro modelo deve ser tentado.

Testar a normalidade dos resíduos (exemplo) O histograma deve apresentar uma forma de sino, com a maioria dos valores em torno de zero. Teste estatístico de normalidade - Shapiro- Wilk data: b$residuals W = , p-value = Obs: hipótese nula de normalidade

Previsão Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

Previsão (exemplo)