Lógica de Descrições Fred Freitas CIn - UFPE

Problemas com frames: ambigüidade [Brachman 79, Franconi 2003] entre classes e instâncias entre classes e instâncias em relações parte-todo em relações parte-todo em quantificação em quantificação

Ambigüidade entre classes e instâncias 29’er : 29’er : –AGE : 29, –SEX : M, –HEIGHT : Number, –WIFE : Person. john : john : –AGE : 29, –SEX : M, –HEIGHT : Number, –WIFE : Person.

Ambigüidade em quantificação O que signiifica? O que signiifica? –Todo sapo é só verde –Todo sapo também é verde –Todo sapo é de algum tipo de verde –Tem um sapo que é só verde –... –Sapos são tipicamente verdes, mas há exceções. Sapo tem-corVerde

Conclusão: Problemas... Falta de semântica formal Falta de semântica formal –Interpretações ambíguas Raciocínio depende do que o desenvolvedor pretende Raciocínio depende do que o desenvolvedor pretende –Definições semelhantes levam a raciocínios bem diferentes Provadores de teoremas não eram necessários Provadores de teoremas não eram necessários Complexidade computacional depende de cada tipo de raciocínio Complexidade computacional depende de cada tipo de raciocínio

“It is unfortunately much easier to develop some algorithm that appears to reason over structures of a certain kind, than to justify its reasoning by explaining what the structures are saying about the domain.” “It is unfortunately much easier to develop some algorithm that appears to reason over structures of a certain kind, than to justify its reasoning by explaining what the structures are saying about the domain.”

Histórico 1ª. Geração (fins dos ’ ) 1ª. Geração (fins dos ’ ) –Linguagens terminológicas –Representações com mais engajamento ontológico, –Mais riqueza: papéis, classificação Sistemas: Sistemas: –KL-ONE [Brachman & Schmolze 78] –KRYPTON [Brachman et al 83]  terminologia+regras  Tbox vs ABox

2ª. Geração – Sistemas com DL Ênfase em teoria Ênfase em teoria –Complexidade do raciocínio vs Expressividade –Identificação das fontes de complexidade Abordagens: Abordagens: –Limitada+completa: P  Ex: CLASSIC [Brachman 91] –Expressiva+incompleta: NP  Ainda ineficientes  Ex: LOOM [McGregor 87] e BACK [Nebel 90]

Nova (atual) geração Alvo: Expressiva+completa! Alvo: Expressiva+completa! Raciocínio baseado em tableaux, com otimizações Raciocínio baseado em tableaux, com otimizações Estudo de relações com outras lógicas Estudo de relações com outras lógicas Ex: FACT e RACER [Horrocks 98 e 2000] Ex: FACT e RACER [Horrocks 98 e 2000]

Lógica de Descrições Fragmento de L2, Lógica de Predicados sem funções, com até 2 variáveis Fragmento de L2, Lógica de Predicados sem funções, com até 2 variáveis Separação entre: Separação entre: –Terminologia (predicados): TBox –Asserções (constantes, instâncias): ABox Representação sem variáveis Representação sem variáveis –Interpretação como predicados, usando expressões- –Interpretação como predicados, usando expressões- –Student  x.Student(x)

Lógica de Descrições - Expressividade Conceitos (predicados unários, classes, conjuntos de indivíduos, subconjunto do domínio) Conceitos (predicados unários, classes, conjuntos de indivíduos, subconjunto do domínio) –Ex: Student {x|Student(x)} –Ex: Married {x|Married(x)} Papéis (predicados binários, relações, conjuntos de pares de indivíduos) Papéis (predicados binários, relações, conjuntos de pares de indivíduos) –Ex: friend{(x,y)|friend(x,y)} Construtores para expressões de conceitos Construtores para expressões de conceitos –Ex: Student   friend.Married –{x|Student(x)^  y.friend(x,y)^Married(y)} Indivíduos (instâncias) Indivíduos (instâncias) –Ex: Student (zé),...

Classe Student Student –Person –name: [String] –address: [String] –enrolled: [Course] Student  Person ^  name.String ^  address.String ^  enrolled.Course Student  Person ^  name.String ^  address.String ^  enrolled.Course

Instância s1: Student s1: Student –name: “John” –address: “Abbey Road... ” –enrolled: cs415 Student ( s1 ) ^ name ( s1, “ john ”) ^ String(“ john ”)^address (s1,“abbey-road”) ^String(“abbey-road”)^enrolled(s1,cs415 ) ^ Course ( cs415 ) Student ( s1 ) ^ name ( s1, “ john ”) ^ String(“ john ”)^address (s1,“abbey-road”) ^String(“abbey-road”)^enrolled(s1,cs415 ) ^ Course ( cs415 )

Descrições (axiomas) Student   enrolled.Course Student   enrolled.Course Professor   teaches.Course Professor   teaches.Course Working-student  Student Working-student  Student Working-student  Professor Working-student  Professor –Pode ser um professor e/ou estudante As descrições sobre um item não são agrupadas como nos frames, é um classificador que as organiza As descrições sobre um item não são agrupadas como nos frames, é um classificador que as organiza

Voltando aos batráquios... Todo sapo é verde Todo sapo é verde –Sapo   tem-cor.Verde Todo sapo é só verde Todo sapo é só verde –Sapo   tem-cor.Verde Tem um sapo que é verde Tem um sapo que é verde –Sapo ( x ), tem-cor ( x, Verde ) Sapo tem-corVerde

Famílias de DLs S = FL- +AL*+ papéis transitivos –SHIQ

FL- (frame language), a caçula Sintaxe Sintaxe A : atomic- concept (indefinidos) A : atomic- concept (indefinidos) R : atomic- role R : atomic- role C, D : concept C, D : concept C, D  A | C  D |  R.C |  R C, D  A | C  D |  R.C |  R concept ::= | concept ::= | (  ) | (  ) | ( . )

Notação e Significado (Informal) concept ::= | concept ::= | ( :and... ) | (: some ) | (: all )  R.C = indivíduos que estão na relação R e são do conceito C Interseção = conjunção Interseção = conjunção União = disjunção União = disjunção Complemento = negação Complemento = negação

Semântica (“a la” Tarski) Baseada na Teoria de Modelos, construída sobre a teoria de conjuntos de Cantor e Zermelo­ Frankel, onde: Baseada na Teoria de Modelos, construída sobre a teoria de conjuntos de Cantor e Zermelo­ Frankel, onde: –  é o universo de discurso –os objetos são elementos de  –os conceitos são subconjuntos de  –as relações binárias são subconjuntos de  –a relação sub­ classe entre classes é interpretada como inclusão de conjuntos Uma interpretação na qual uma fórmula é verdadeira é um modelo para esta fórmula Uma interpretação na qual uma fórmula é verdadeira é um modelo para esta fórmula

Interpretação Uma interpretação é um par, onde: Uma interpretação é um par, onde: –  I é o universo de discurso (não-vazio) –.I é uma função de interpretação, que mapeia:  Conceitos para subconjuntos de  I  Papéis para subconjuntos de  I  I

Exemplo

Exemplo (cont.)

Base de Conhecimento em DL Uma ontologia em DL é uma Base de conhecimento Uma ontologia em DL é uma Base de conhecimento  =  = A ABox tem axiomas de instanciação de A ABox tem axiomas de instanciação de –Conceitos  x  D –Papéis   R  (Student U Professor)(paul) A TBox tem axiomas para A TBox tem axiomas para –Conceitos:  C  D (inclusão)  C  D (equivalência) –Papéis (ou propriedades):  R  S (inclusão)  R  S (equivalência)  R+  R (transitividade) –nem toda DL tem…

Bases de conhecimento Condições necessárias são expressas com  Condições necessárias são expressas com  Condições necessárias e suficientes são expressas com  Condições necessárias e suficientes são expressas com  –Teaching-Assistant   Undergrad U Professor Para uma interpretação satisfazer uma ontologia (base de conhecimento) Para uma interpretação satisfazer uma ontologia (base de conhecimento) –Precisa satisfazer TBox e ABox –Então ela é um modelo desta ontologia Uma ontologia é satisfatível se admite um modelo Uma ontologia é satisfatível se admite um modelo

ALC (linguagem atributiva) e FLs AL = FL- (DL estrutural) + negação AL = FL- (DL estrutural) + negação –DL proposicional FL0 = FL- +  R.C (no lugar de  R, que é  R.T) FL0 = FL- +  R.C (no lugar de  R, que é  R.T) –Interpretação de  R é a mesma de  R.C, sem ^CI(y) ALC = FL0 + negação (complemento) ALC = FL0 + negação (complemento)

Outras ALs U – União (disjunção) U – União (disjunção) –Human  Male U Female E – quantificação existencial (  R.C) E – quantificação existencial (  R.C) N – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis (  R,  R) N – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis (  R,  R) –Busy-Woman  Woman  (  3 child) –Conscious-Woman  Woman  (  5 child) –  1 R   R EU = C (U e E podem ser obtidos de FL- +C) EU = C (U e E podem ser obtidos de FL- +C) Estudadas: ALC (ou ALUE) e ALCN (ou ALUEN) Estudadas: ALC (ou ALUE) e ALCN (ou ALUEN)

O Q do SHIQ Q – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis qualificados (  R.C,  R.C) Q – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis qualificados (  R.C,  R.C) –Worried-Woman  Woman  (  3 child.Man) Note que U,E,N,C,Q e interseção são construtores de classes! Note que U,E,N,C,Q e interseção são construtores de classes!

Classificação Colocar um conceito/papel no devido lugar dentro da hierarquia, de forma a que Colocar um conceito/papel no devido lugar dentro da hierarquia, de forma a que –Abaixo dele, esteja o conceito mais geral que é mais específico que ele –Acima dele, esteja o conceito mais específico que é mais geral que ele Verifica estas relações por subsunção Verifica estas relações por subsunção –Quais conceitos “cabem”dentro de quais

Sobre o Raciocínio Basicamente por subsunção (herança) Basicamente por subsunção (herança) –Checar se um conceito/papel é contido por outro Hipótese do Mundo Aberto Hipótese do Mundo Aberto –Em contraste com quase todos os outros formalismos de representação (Mundo Fechado) –Em Frames, Presidente tem cardinalidade 1 –Presidente(Lula), Presidente(Líder-Sindical) dará erro –Em DL, Lula e Líder-Sindical são a mesma pessoa

Tipos de Raciocínio em DLs Consultas à ontologia Consultas à ontologia Conseqüência Lógica Conseqüência Lógica Satisfatibilidade Satisfatibilidade Checagem de consistência Checagem de consistência Checagem de instância Checagem de instância Checagem de equivalência Checagem de equivalência

Raciocínios com instâncias Consultas à ontologia Consultas à ontologia –Recuperar instâncias que obedecem a expressões  ?Aluno –Daniel, Carol, Zé... Checagem de instância Checagem de instância –Determina se um indivíduo é instância de um conceito ou papel –Se a asserção C(a) satisfaz todos os modelos da ontologia  Ver exemplo de conseqüência lógica

Raciocínios com conceitos Checagem de consistência Checagem de consistência –Checar se um conceito ou papel é vazio –Senão, é satisfatível  Student   Person Checagem de equivalência Checagem de equivalência –Dois conceitos são equivalentes se todas as instâncias dos dois forem comuns aos dois –Duas instâncias podem ser a mesma  Ciclos em definições

Conseqüência Lógica Se todo modelo da BC A é também modelo da BC B, então B é Conseqüência Lógica de A Se todo modelo da BC A é também modelo da BC B, então B é Conseqüência Lógica de A –TBox:   teaches.Course   Undergrad U Professor –ABox:  teaches ( john, cs415 ) ; Course ( cs415 ) ;  Undergrad ( john ) –Professor ( john )?

Satisfatibilidade Checa se existe algum modelo que satisfaz um axioma Checa se existe algum modelo que satisfaz um axioma  Student   Person

Complexidades das DLs

OWL: Construtores de Classes e Axiomas

Referências The Description Logic Handbook. F. Baader et al Cambridge Press. The Description Logic Handbook. F. Baader et al Cambridge Press. Curso de DL. Enrico Franconi, Univ. Bozen-Bolzano, Itália. Curso de DL. Enrico Franconi, Univ. Bozen-Bolzano, Itália. Curso de Ontologias. Virgínia Brilhante, UFAM. Curso de Ontologias. Virgínia Brilhante, UFAM.