Agrupamento S. Pedro do Mar de Quarteira Matemática divertida Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) e Máximo Divisor Comum (m.d.c.) Disciplina: Área Projecto Docentes: Marco Porto Sandra Coelho Discentes: Celso Pereira nº4 Tiago Cerqueira nº18 Xavier Anastácio nº 20 Ano: 8º Turma: B Ano Lectivo: 2009/2010

Múltiplos De um número 1. Os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, … que se obtêm multiplicando 3 por 0, 1, 2, 3, … Os MÚLTIPLOS de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse número por 0, 1, 2, 3, … 2. 4 é divisor de 20, porque 20 é múltiplo de 4.

3. Os divisores de 11 são 1 e 11, logo 11 é número primo. 11 tem apenas 2 divisores. NÚMERO PRIMO é todo o número natural que tem dois e apenas dois divisores (ele próprio e um). 4. Os divisores do número 15 são: 1; 3; 5; 15 O número 15 tem mais de 2 divisores. Logo, não é primo. Diz-se NÚMERO COMPOSTO. NÚMERO COMPOSTO é todo número natural que tem mais de dois divisores.

5. Como já sabes, quando um número é composto podemos sempre escrevê-lo como um produto de factores primos, ou seja, podemos sempre decompô-lo em factores primos. 18 é um número composto. Experimenta decompô-lo em factores primos: 18=2 x32

m.m.c De dois números Sabias que: { Múltiplos de 4 } = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …} { Múltiplos de 6 } = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …} { Múltiplos comuns de 4 e 6 } = { 0, 12, 24, 36, …} Podes calcular o m.m.c. de dois números por um processo mais rápido e prático, utilizando a decomposição de um número em factores primos.

Resumindo: O mínimo múltiplo comum de dois números decompostos em factores primos é igual ao produto dos factores comuns e não comuns de maior expoente.

m.D.c De dois números ATENÇÃO Simbolicamente: m.d.c. (42, 60) = 6 { Divisores de 42 } = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } { Divisores de 60 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 } { Divisores comuns de 42 e 60 } = { 1, 2, 3, 6 } O maior dos divisores comuns de 42 e 60 é 6. Dizemos, então, que 6 é o máximo divisor comum de 42 e 60. ATENÇÃO Simbolicamente: m.d.c. (42, 60) = 6 Podes calcular o m.d.c. de dois números por um processo mais rápido e prático, utilizando a decomposição de um número em factores primos.

O número 1 não é nem primo nem composto. De acordo com os meus cálculos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, etc… são NÚMEROS PRIMOS. O número 1 não é nem primo nem composto. Todos os outros são compostos. Ex: 6, 8, 12, etc…

Quando o máximo divisor comum de dois números é igual a 1, então os números dizem-se primos entre si. O máximo divisor comum de dois números decompostos em factores primos é igual ao produto dos factores comuns de menor expoente.

a b M m.m.c. (a, b) D m.d.c. (a, b) a x b M x D 10 15 2 x 3 x 5 = 30 5 10 x 15 = 150 30 x 5 = 150 6 8 2 x 3 x 4 = 24 2 6 x 8 = 48 24 x 2 = 48 12 20 2 x 2 x 5 x 3 = 60 4 12 x 20 = 240 60 x 4 = 240 18 22 x 32 = 36 4 x 18 = 72 36 x 2 = 72

Resumindo: Dados dois números a e b, sendo M = m.m.c. (a, b) e D = m.d.c. (a, b), verifica-se que a x b = M x D.

Que tal resolver um Problema de m.m.c.?! Os Faróis Da Costa Três faróis acenderam ao mesmo tempo num determinado momento. Um deles acende de 10 em 10 segundos, outro de 12 em 12 e outro de 15 em 15. Quanto tempo depois voltam a acender os três faróis ao mesmo tempo?

Resolução m.m.c. (15, 12, 10) = 22 x 3 x 5 = 60 15 3 12 2 10 2 5 5 6 2 5 5 1 3 3 1 1 60 = 3 x 5 R: Os três faróis voltam a 40 = 22 x 3 acender ao mesmo tempo 32 = 2 x 5 passados 60 segundos.

Que tal resolver um Problema de m.d.c.?! O Festival de Música Num festival de música, há 60 sopranos, 40 contraltos e 32 baixos. Pretende-se distribuir os cantores em grupos de modo que em cada grupo haja o mesmo número de sopranos, o mesmo número de contraltos, o mesmo número de baixos. Qual o maior número de grupos que é possível formar?

Resolução m.m.c. (60, 40, 32) = 22 = 4 60 2 40 2 32 2 30 2 20 2 16 2 15 3 10 2 8 2 5 5 5 5 4 2 1 1 2 2 1 60 = 22 x 3 x 5 R: O maior número de 40 = 23 x 5 grupos que é possível 32 = 25 são 4 grupos.