Equações do 2º Grau Ana Fraga Mota Carmen Salvado Elisa Mosquito M.ª Teresa Santos Didáctica da Álgebra 2004 / 2005

Apresentação dos Manuais Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha 1887 Escola Politécnica (4º e 5º anos de liceu) actual 10º ano 52 páginas Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea 1924 6ª e 7ª classes actual 11º ano 26 páginas Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo 1938 4º, 5º e 6º anos do liceu actual 10º ano 21 páginas

Apresentação dos Manuais Compêndio de Matemática António de Almeida Costa, Alfredo Osório dos Anjos e António Augusto Lopes 1970 9º Ano de escolaridade 17 páginas Matemática 9 Maria Augusta F. Neves, Luís Guerreiro e Armando Neves 2004 9º Ano de escolaridade 22 páginas

Augusto José da Cunha (1887) Elementos de Álgebra Augusto José da Cunha (1887) A resolução de equações de 2º grau conduz à extracção da raiz quadrada de expressões literaes, ou numéricas, por isso, antes de expor o processo de resolução de equações, trataremos da teoria de radicaes do 2º grau. O tema está dividido em três capítulos: Capítulo I – Radicais do 2º grau (14 pág.) Capítulo II – Equação do 2º grau a uma incógnita ( 24 pág.) Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º grau ou ao 1º grau (14 pág.).

Capítulo I – Radicais do 2.º Grau Duplo valor da raiz quadrada (quantidades imaginárias) visa esclarecer o que é a raiz quadrada Quadrado e raiz quadrada de monómios operações com monómios Quadrado e raiz quadrada de polinómios operações com polinómios Calculo dos radicaes do 2º grau simplificação de radicais operações com radicais No final são apresentados 10 exercícios: Acha a raiz quadrada do polinómio; Simplifica a expressão; Valor de…; Demonstra as seguintes igualdades; A resposta é apresentada junto ao exercício.

Capítulo II – Equação do 2.º grau a uma incógnita Resolução da equação - definição da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas; - Equações incompletas ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0; - Resolução e discussão das soluções das equações incompletas; - Resolução da equação do 2º grau completa, quando a=1; - Resolução da equação ax2 + bx + c = 0, com a , b e c quantidades conhecidas; - Dedução da fómula - a primeira equação resolvida com a fórmula anterior é Discussão da equação - discussão das soluções em função dos valores de a, b e c. Composição da equação - divisão de polinómios Propriedades do trinómio do 2º grau - trinómio do 2º grau é a expressão algébrica ax2+bx+c, com a, b e c quantidades conhecidas; - decomposição do trinómio - aplicação às desigualdades do 2º grau. No final são apresentados 26 exercícios: Resolve as seguintes equações; Decompor o trinómio em dois factores do 1º grau;

Capítulo III – Equações que se reduzem ao 2º ou ao 1º grau Equações irracionaes - definição de equação irracional; Equações biquadradas - define equação biquadrada Transformações das expressões da forma No final são apresentados 12 exercícios: Resolve as seguintes equações; Transforma a expressão.

Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924) Compêndio de Álgebra Eduardo Ismael dos Santos Andrea (1924) O tema está dividido em dois capítulos: - o capítulo VIII - Equações do 2º grau a uma incógnita (6 pág.) - Propriedades do Trinómio do 2º grau (13 pág.) - capítulo IX - Problemas do 2º Grau. Discussão (3pag.) O capítulo termina com exercícios e as respectivas soluções (quatro páginas).

Capítulo VIII – Equações do 2ºgrau a uma incógnita define a equação do 2º grau como sendo o trinómio ax2 + bx + c = 0, com a , b e c finitos; Indica: - as raízes possíveis são reais ou complexas; - procede à dedução das raízes da equação admitindo a≠0, A 1ª equação a ser resolvida com pela fórmula anterior é 3x2 – 5x + 2 = 0; Discute o número de raízes da equação em função do sinal de b2 – 4ac ; Enuncia as propriedades do trinómio - sob a forma de teoremas seguidos da respectiva demonstração; - indica a regra para se obter a expressão da equação do 2º grau quando são conhecidas as duas raízes; - apresenta teoremas relativos à factorização do trinómio no produto de dois polinómios do 1º grau, quando as raízes são reais ou complexas ;

Capítulo VIII- Equações do 2.º grau a uma incógnita Estuda os valores de x que tornam positivo ou negativo o trinómio; “Discutir as raízes da equação (3γ – 1)2x2 – (2γ + 1) x + γ=0 quando  varia de - a + ” A representação gráfica de uma função do 2º grau chama-se parábola. Capítulo IX- Problemas do 2.º grau. Discussão Exemplos de problemas cuja resolução envolvem a discussão das raízes da equação do 2º grau. O capítulo termina com: - 36 exercícios - aplicação da fórmula; - “Formar equações cujas as raízes são” - discutir, a priori, as equações; - estudar as raízes em função de um parametro; - indicação das soluções;

Álgebra e Trigonometria Fernando Dias Agudo (1938) O capítulo I “Equações e Problemas do 2º grau” Divide-se em 2 secções: - Equações (16 pág.) A.Nota histórica B.Resolução gráfica (2 pág.) C.Resolução algébrica (14 pág.) - Problemas do 2º grau (4 pág.) Termina com um quadro que resume os principais tópicos a fixar na resolução de uma equação do 2º grau; Listagem de exercícios de aplicação.

Capítulo I- Resolução algébrica A transformação geométrica do polinómio (a+b)2=a2+2ab+b2 numa expressão com incógnitas; Define equação do 2º grau a uma incógnita, completa e incompleta. Inicia a resolução das equações do 2º grau com a questão: “Por que razão é, necessariamente, a ≠0?” Dedução da fórmula resolvente Indica “os passos” da resolução das equações do 2º grau A 1º equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é Simplificação da fórmula resolvente em função dos diferentes coeficientes Discussão do número de raízes da equação

Capítulo I – Problemas do 2º Grau Capítulo I – Resolução algébrica Define raízes imaginárias usando a resolução da equação x2 + 1 = 0; define - números complexos; - a representação dos números complexos no “plano de eixos”. Capítulo I – Problemas do 2º Grau Apresenta 4 exemplos de exercícios de aplicação da fórmula resolvente. “Busquemos um número cujo quadrado de metade e do seu terço, e do seu quarto, todos juntos façam tanta soma como é o mesmo número” (Extraído do livro de Álgebra de Pedro Nunes) Tópicos essenciais, na resolução de uma equação do 2º grau e de problemas que envolve as equações do 2º grau; Listagem de 31 exercícios de aplicação da fórmula resolvente.

Compêndio de Matemática A. A. Costa, Afredo Osório dos A., António A. Lopes (1970) O capítulo 5 “Problemas e Equações do 2º grau” Divide-se em 2 secções: - Equações (12pág.) Resolução algébrica - Problemas do 2º grau (3 pág.) Termina com uma listagem de exercícios de revisão.

Capítulo 5- Resolução algébrica Inicia com a resolução de problemas e exemplos de equações do 2.º grau incompletas. Reduz o polinómio do 1.º membro a um quadrado perfeito, aplica os casos notáveis, na resolução de equações do 2.º grau completas. Aplica a Lei do Anulamento do Produto, colocando o 1.º membro sob a forma de um produto de dois ou mais factores. Define equação do 2.º grau e foca os casos de c=0 e b= 0, dizendo que nestes casos são equações incompletas e mostra como proceder. Apresenta regras práticas para resolver as equações do tipo: A primeira equação que é resolvida segundo a fórmula resolvente é Caso “O coeficiente b=2k”.

Capítulo 5 – Problemas do 2º Grau apresenta 4 exemplos de problemas (2 ligados ao quotidiano e um envolvendo a Geometria), de aplicação da fórmula resolvente, no caso de serem equações do 2.º grau completas. Finaliza esta parte com a proposta de resolução de 5 problemas: - 2 numéricos; - 2 geométricos; - 1 quotidiano. Termina o Capítulo com uma listagem de exercícios e problemas a que denomina por ”Exercícios de revisão”. Este dividem-se em: - inequações; - sistemas de inequações com parêntesis e denominadores; - decomposição de polinómios em factores; - resolução de equações; - resolução de problemas; - um exercício de simplificação de radicais.

M.ª A. F. Neves,Luís Guerreiro e Armando Neves (2004) Matemática 9 M.ª A. F. Neves,Luís Guerreiro e Armando Neves (2004) Capítulo IV: “Equações do 2º grau” Divide-se em 4 sub-títulos: - “Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de polinómios. Decomposição em factores (Revisão)” (4 pág.); - “Resolução de equações de 2.º grau incompletas. Lei do Anulamento do Produto. (Revisão)” (4 pág.); - “Resolução de equações do 2.º grau completas. Fórmula Resolvente” (4 pág.); - “Resolução de problemas do 2.º grau” (4 pág.);

Capítulo V- Equações do 2.º grau Refere os conteúdos a serem estudados; Apresenta uma breve “Nota Histórica; Aponta o que os alunos já devem saber: Operar com polinómios; Aplicar os casos notáveis da multiplicação de polinómios; Decompor em factores um polinómio; Resolver equações do 2.º grau incompletas. Apresenta exemplos, exercícios e problemas de revisão; Desenvolve o conceito através da resolução de um problema, apresentando dois processos de resolução; Refere que: “existe uma fórmula resolvente de equações do 2.º grau que permite determinar as soluções de qualquer equação do 2.º grau”.

Capítulo IV- Equações do 2.º grau Apresenta a dedução da fórmula , sob a forma de nota; A primeira equação a ser resolvida é Refere que: na “resolução de um problema, [deve-se] fazer um desenho ou um esquema que pode ajudar a formar uma equação que relacione os dados e a incógnita. Em seguida resolve-se a equação e interpreta-se as suas soluções”; Apresenta a resolução de três problemas seguindo os passos sugeridos; Sugere a resolução de problemas; “Palavras-chave/Conhecimentos e Capacidades Específicos” “Avaliação”: Propõe exercícios de avaliação de dois tipos: “Questões de escolha múltipla” e “Questões de desenvolvimento”; Apresenta as soluções de todos os exercícios de todos os capítulos.

Conclusões Os conteúdos a serem aprendidos pelos alunos e a abordagem dos mesmos sofreu grandes alterações com a evolução do currículo da Matemática; Livros analisados desde 1887 até 2004; Evolução na abordagem das equações do 2º grau: formalismo e abstracção excessivo abordagens simples e concretas A fórmula resolvente só aparece após uma primeira parte em que se trabalham equações do mesmo grau mas incompletas ou completas; Actualmente as equações do 2º grau incompletas são estudadas num ano lectivo (8º ano), no ano seguinte introduzem-se as equações do 2º grau completas (com o estudo da fórmula resolvente) e apenas no 10º ano é introduzida a discussão das soluções da equação completa (binómio discriminante), bem como o estudo dos radicais (Curriculo em espiral).

Conclusões A relação entre as equações do 2.º grau e a função quadrática só é abordada no livro de Ismael Andrea; As tarefas propostas aos alunos deixaram de ter um cunho estritamente matemático dando espaço a problemas contextualizados em situações do quotidiano; O grau de dificuldade dos exercícios diminui gradualmente; A natureza do texto muda com a época em que é escrito; Evolução gradual do aumento da letra e dos espaços utilizados entre parágrafos; deixam de existir parágrafos numerados e utilizam esquemas, desenhos e cores.

Referências Bibliográficas Agudo, F. D. (1938). Álgebra e Trigonometria. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Andrea, E. I. S. (1924). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Imprensa Nacional de Lisboa. Calado, J. J. G. (1960). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de Francisco Franco. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1970). Compêndio de Matemática. Porto: Porto Editora. Costa, A. A., Anjos, A. O. & Lopes, A. A. (1987). Matemática Jovem. Porto: Porto Editora. Cunha, A. J. (1887). Elementos de Álgebra. (5ª edição). Lisboa: Livraria de António Maria Pereira. Neves, M. A. F., Guerreiro, L. & Neves, A. (2004). Matemática 9.(1ª edição). Porto: Porto Editora. Ponte, J. P. (2004). As equações nos manuais escolares. Revista Brasileira de História da Matemática, 4(8), 149-170.