Lei de Little

Otimização de recursos Lei de Little Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Otimização de recursos Ferramentas simples Lei de Little

L: número médio de usuários no sistema Lei de Little Parâmetros de uma Fila L: número médio de usuários no sistema LQ: número médio de usuários na fila W: tempo médio que um usuário permanece no sistema WQ: tempo médio que um usuário permanece na fila L S LQ

Lei de Little Idéia de custo: Cada usuário que entra ao sistema paga uma quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.

Lei de Little Definições: Identidade de custo em termos matemáticos: Vs: velocidade média com que o sistema ganha dinheiro a: taxa média de chegada de usuários ao sistema : quantia paga por cada usuário Identidade de custo em termos matemáticos:

Lei de Little Demonstração intuitiva da identidade de custo: T: período de observação $(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T] N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]

Lei de Little Tem-se que: $(T) = Vs T (1) $(T) = N(T). (2) N(T)  a.T (3) De (1), (2) e (3), tem-se que: Portanto:

Lei de Little Aplicações de identidade de custo: regra 1 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema. [$/ut] W[$/pessoa] Sistema

Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema) Então, da igualdade de custo :

Lei de Little Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema. L usuários Sistema

Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut] L: número médio de usuários no sistema Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então: Juntando ambos pontos de vista:

Lei de Little Aplicações da identidade de custo: regra 2 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila. Definição: Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro. Wq: quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila) Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários:

Lei de Little Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila. Definição: Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro Lq: número médio de usuários na fila Resumo da regra: Juntando ambos pontos de vista:

Lei de Little Aplicações da identidade de custo: regra 3 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor. Definição: E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor Ls: número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo: Lei de Little

Lei de Little Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço. Definição: Ds: velocidade com que o serviço ganha dinheiro Ls: número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo : Juntando ambos pontos de vista:

Aplicações da Lei de Little

Transmissão de pacotes Linha de transmissão fonte destino Pode ser modelado por: Pacotes em espera   Pacotes em transmissão : taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores Nq: número médio de pacotes esperando na fila : tempo médio de transmissão

Transmissão de pacotes Pergunta 1: qual é o tempo médio de permanência de um pacote na fila? Aplicando a Lei de Little: Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão? Seja  o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little:

Rede de computadores 1 2 i Linha de transmissão · 1 i n Rede de computadores 2 i n 1,2,…,n: taxa de chegada de pacotes aos n nós N: número médio de pacotes dentro da rede

Rede de computadores Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote? Ao sistema chegam pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little: Além disso, onde Ni: número médio de pacotes no nó i Ti: atraso médio de pacotes no nó i

Análise de outro concentrador Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s. 20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média.

Análise de outro concentrador 20 terminais: um pacote a cada 10 s em média 10 terminais: um pacote a cada 5 s em média 10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson.

Análise de outro concentrador

Linha de transmissão K: período de chegada de um pacote à linha Partida do segundo pacote 1 2 3 K 2K 3K a K+P Chegada do primeiro Chegada do primeiro t N(t) < K: período de chegada de um pacote à linha K: tempo de transmissão do pacote ( < 1) P: atraso de processamento e propagação do pacote

Linha de transmissão Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de pacotes ao sistema? Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será:

Linha de transmissão Pergunta 2: qual é o número de pacotes no sistema? Cada pacote permanece dentro do sistema: De acordo com a Lei de Little tem-se que:

Linha de transmissão Observação 1: N(t) é determinístico e variável no tempo. Observação 2: A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja:

Sistema fechado com K servidores Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário. Tempo meio de serviço = E[x]. Pergunta : T = ?

Sistema fechado com K servidores Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x] Aplicando a Lei de Little ao sistema: Aplicando a Lei de Little ao servidor: Eliminando  das duas equações anteriores se chega a :

Sistema fechado K: número de servidores no sistema 1 2 K i · N-K usuários servidores K: número de servidores no sistema T: tempo médio de um usuário no sistema N: número de usuário no sistema (N  K) : tempo médio de serviço por usuário

Sistema fechado Hipóteses: sistema começa com N usuários sistema fechado Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema? Aplicando a Lei de Little no sistema: (1)

Sistema fechado Considerando-se que todos os servidores estão sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor: (2) de (i) e (ii) tem-se que:

Controle de fluxo pela janela X N: largura da janela para cada sessão : taxa de chegada de pacotes ao sistema T: atraso médio de cada pacote . 1 Transmissor Receptor . 2 4 3

Controle de fluxo pela janela Hipóteses: A sessão sempre tem pacotes para enviar. Os acks de resposta têm duração desprezível. Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N é imediatamente introduzido na rede. Análise pela Lei de Little: Se T aumenta, então  diminui Para máximo  fixo um incremento no tamanho da janela somente incrementa o atraso T

Análise de um computador a tempo compartilhado Arquitetura: Computador  R P T1 T2 TN D

Parâmetros do sistema N: número de terminais R: tempo médio de pensar em cada terminal P: tempo médio de processamento de cada tarefa D: tempo médio desde que um trabalho é submetido ao computador até que termine sua execução T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema : throughput do sistema

Análise de um computador a tempo compartilhado Condição de sistema fechado: N = constante no sistema Condição máxima de utilização: Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido. Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de  e T.

Modelo Time sharing: B 1 / P CPU TERMINAL 1 2 N  R D P A T

Análise de um computador a tempo compartilhado Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B): Atraso mínimo de um trabalho Dmin = P Atraso máximo de um trabalho Dmax = NP

Análise de um computador a tempo compartilhado Conclusão P  D  NP Portanto, R + P  T  R + NP (1) Aplicando a Lei de Little em (1) (2) Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que: (3)

Análise de um computador a tempo compartilhado Combinando (2) e (3), obtem-se: (4) Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema (5)

Atraso máximo e mínimo do sistema R+P R 1 NP R+NP zona de operação

Throughput máximo e mínimo NÚMERO DE TERMINAIS THROUGHPUT 1 / P 1 + R / P

Processos de nascimento e morte

Processos de nascimento e morte É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado Ek, são aos estados Ek-1 ou Ek+1, se estes estados existem. E k-1 k k+1 k-1 k k k+1 A simulação ayuda a evaluar um sistema e a visualizarlo mais que a generar uma solução “óptima” 2 24 20 22 20 15

Definições Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema). Morte: transição ao estado adjacente inferior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode sair no máximo um usuário do sistema). Ek Ek+1 Ek Ek-1 25 16 23 21 21

Definições Razão de nascimento: número médio de nascimentos por unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: kqk,k+1 Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: kqk,k-1 Como a EBG estabelece que qk,i = 0 Então: qk,k = - (k + k) 17 26 22 24 22

Solução dos PNM Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+t): k+1 E E k k E k-1 t t+t Deseja-se obter: 29 20 25 25 25

Solução dos PNM Hipótese: quando se está no estado E0, não é possível uma morte (0 = 0), mas é possível um nascimento (0  0) (exemplo: geração espontânea) 21 30 26 26 26

Solução dos PNM Logo, as possibilidades de estar no estado Ek no instante t + t, a partir do estado no instante t, são: E k k-1 k+1 t+t t 1 morte Não mudou 1 nascimento 30 21 26 26 26

Definições B1(k,t) = P[um nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek] = k t + o(t) D1(k,t) = P[uma morte em (t,t+t) | N(t)=E k] = k t + o(t) B0(k,t) = P[nenhum nascimento em (t,t+t) | N(t)=Ek] = 1 - k t + o(t) D0(k,t) = P[nenhuma morte em (t,t+t) | N(t)=E k] = 1 - k t + o(t) 27 18 23 28 23

Definições Sejam: k(t) = P[N(t) = Ek] pi,j(t,t+t) = P[N(t+t) = Ej | N(t) = Ei], para |i-j| < 1 19 28 24 29 24

Definições Logo: pk,k(t,t+t) = B0(k,t) D0(k,t) + o(t) Desenvolvendo: pk,k(t,t+t) = 1 - (k + k)t + o(t) pk-1,k(t,t+t) = k t + o(t) pk+1,k(t,t+t) = k t + o(t) 30

Solução dos PNM Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que: k k-1 k+1 t+t t 1 morte Não muda 1 nascimento Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que:

Solução dos PNM Substituindo, agrupando e tomando , obtém-se: Além disso,

Solução dos PNM Logo,obtém-se o seguinte sistema: 33 26 31 33 31

Solução dos PNM Para uma cadeia de Markov qualquer: Para um PNM, tem-se que: Observa-se que esta equação coincide com a da transparência anterior. 23 28 34 28

Exemplo Um processo de Poisson é um processo de nascimento puro, onde: k  k k  k As equações anteriores são reduzidas a: Condição inicial: 27 32 35 32

Exemplo Logo, por indução obtém-se: Processo de Poisson Resolvendo, se tem que: Logo, por indução obtém-se: Processo de Poisson 28 33 36 33

Solução de um PNM em equilíbrio Em estado estacionário (t) é independente do tempo, logo (tvai ser representado somente por  A EBG se reduz a: Além disso: 29 34 37 34

Solução de um PNM em equilíbrio Logo: 30 35 38 35

Solução de um PNM em equilíbrio O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: E k-1 k k+1   Fluxo que sai = Fluxo que entra 30 35 35 38

Solução de um PNM em equilíbrio O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: E k-1 k k+1   (k+k)k = Fluxo que entra 30 35 35 38

Solução de um PNM em equilíbrio O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: E k-1 k k+1   (k+k)k = k-1k-1 + k+1k+1 30 35 35 38

Solução de um PNM em equilíbrio Reorganizando-se: Por outro lado, definindo-se gk como: 39 42 39

Solução de um PNM em equilíbrio Reconhecendo gk na EBG: com: 40 43 40

Solução de um PNM em equilíbrio Reconhecendo gk na EBG : com = 41 44 41

Solução de um PNM em equilíbrio Reconhecendo gk na EBG : logo, = é constante com respeito a k 42 45 42

Solução de um PNM em equilíbrio Além disso, num PNM: Da EBG para o estado 0, se vê que g0 = 0. Juntando-se com a equacao que diz que gk+1 = gk, tem-se que: gk = 0 k 0    -1 1 E E 1    1 2 43 43 46

Solução de um PNM em equilíbrio Além disso, num PNM: de onde    -1 1 E E 1    1 2 43 43 46

Solução de um PNM em equilíbrio Além disso, num PNM: de onde    -1 1 E E 1    1 2 43 43 46

Equação de balanço local A equação anterior corresponde a uma equação de balanço local (EBL), isto é:    k-1 k k E k+1 E k+2 E k-1 E k    k k+1 k+1  =  k k  k+1 k+1 46 49 46

Equação de balanço local Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 1  10 01 32  30 03 3 2 47 50 47

Equação de balanço local Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 1  10 01 32  30 03 3 2 47 50 47

Equação de balanço local Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 1  10 01 32  30 03 3 2  32 23 = 47 47 50

Equação de balanço local Logo, segundo a EBL:    k-1 k k E k+1 E k+2 E k-1 E k    k k+1 k+1  =  k k  k+1 k+1 A EBL estabelece que, em estado estacionário, o FLUXO entre dois estados adjacentes é IGUAL 50 53 50

Solução de um PNM em equilíbrio É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que: Para: k = 0: , k = 1: 51 54 51

Solução de um PNM em equilíbrio É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que: Para: k = 0: , k = 1: Por indução: 51 54 51

Solução de um PNM em equilíbrio Além disso: Logo: 53 56 53