2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle Ensino Superior Modelagem Matemática 2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso

Sumário 2.1.1 O Problema da Modelagem 2.1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

1.1 O Problema da Modelagem Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma representação matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática. A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido. A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende fundamentalmente do conhecimento que se tem desse sistema.

1.1 O Problema da Modelagem Exemplo 1: Um corpo se movimenta a uma velocidade v1 (m/s), com massa m1 (kg) se choca com um outro corpo em repouso, de massa m2. A quantidade de movimento medida no instante do choque é dada por: Q = m1.v1 (kg.m/s). a F ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (causa) (efeito)

1.1 O Problema da Modelagem Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de movimento será transferida ao corpo de massa m2 (kg), de forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada por v2 = Q/m2 (m/s). ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (causa) (efeito)

1.1 O Problema da Modelagem Exemplo 2: Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por  = 0,1.

Força de Atrito fat = µe .N F at Denomina-se atrito a resistência que os corpos em contato oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos: Força de atrito estática: N N (Sentido da eminência movimento) F at F fat = µe .N P µe Coeficiente atrito estático N Reação normal do apoio

Força de atrito dinâmica Fat = µd . N F fat P µd Coeficiente atrito dinâmico N Reação normal do apoio (Sentido do Movimento) OBS: A força de atrito entre dois corpos em contato é tangente à superfície de contato e tem sentido oposto ao do movimento (ou à “tendência” de movimento) relativo entre as superfícies.

1.1 O Problema da Modelagem Voltando ao Exemplo 2: Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por  = 0,1. a = 10 m/s² Resolução: A somatória das forças é F = F1 - N F = F1 – 0,1 . 50 . 10 F = F1 – 50 m = 50 kg F = ? Fat 1 N = 1 kg x 1 m / s² Esta resultante deve ser igual à massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo. F1 = 500 + 50  F1 = 500 N

1.1 O Problema da Modelagem Basicamente, os estudos de sistemas dinâmicos que iremos apresentar se dividem nas seguintes fases: Modelagem. Descrita anteriormente, consiste em representar o sistema físico através de um modelo matemático. Determinação das características dinâmicas, que implica em um levantamento prévio de dados, já que propriedades intrísecas do sistema são consideradas (inércia, amortecimento, atrito, etc.). Análise. Consiste em, através de uma metodologia qualquer, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.

1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas São variáveis que, para todo e qualquer instante de tempo, têm valor definidos.

1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas O objetivo é analisar se a variável contínua de interesse tende a um valor finito após a aplicação de uma excitação ou distúrbio. Mais que isso, deseja-se que qualquer componente transitória desapareça o mais rápido possível. A forma como o sistema reage a alguns tipos de distúrbios define a robustez desse sistema dinâmico. Deseja-se, na verdade, que o sistema atinja um ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível, ao mesmo tempo em que algumas características da resposta devem ser satisfeitas.

1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas Assim, a resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas: 1) Componente de regime permanente, também chamada de valor final. É a componente obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar. Portanto, representamos esta componente como: Nota: observe que na expressão acima, a resposta em um instante qualquer é dada por y(t). 2) Componente transitória. É a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio. Seu valor é dado por:

1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas A classificação dos tipos de respostas é também um conceito importante: RESPOSTA LIVRE: É a saída obtida quando não é considerada qualquer excitação ao sistema. RESPOSTA FORÇADA: É a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais. RESPOSTA TOTAL: É a união das respostas anteriores.