INTRODUÇÃO A ALGORITMOS NUMÉRICOS Prof. Renata S.S. Guizzardi 2010/02

O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS? São programas de computador capazes de solucionar problemas matemáticos, fornecendo resultado numérico aproximado. Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida em um grau crescente de exatidão.

Por que utilizar? (1/2) 1) Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Ex.: solução de sistemas de equações lineares.

Por que utilizar? (2/2) 2) O problema não tem solução analítica. Exemplos: a) não representável por funções elementares; b) não pode ser resolvido analiticamente;

FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA Solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, usando um modelo matemático

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2) Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag. 117): No nó 1, pela lei de Kirchhoff: 1 2 3 4

EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2) O problema é resolvido a partir de um sistema linear de quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Problema Real Levantar Dados Construir Modelo Matemático Eventualmente Rever Escolher Método Numérico Analisar Resultados Implementar Método Computacionalmente Solução Numérica

No exemplo anterior Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos. Levantamento de dados: valores das resistências e tensões nos pontos A e B. Construir modelo matemático: montar equações e criar as matrizes a partir delas. Escolher método numérico: Decomposição LU, Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de Jacobi etc. Implementar Método Computacionalmente: criar e processar programa. Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o método numérico precisam ser alterados.

Tipos de Erros (1/6) Erro na Modelagem Erro Grosseiro Devido à expressão matemática que não reflete perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão. Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação do algoritmo ou a erro de digitação.

Tipos de Erros (2/6) - Truncamento Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula. expansão da função exponencial em séries de potência Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

Tipos de Erros (3/6) - Arredondamento Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no computador. Conversão de base (decimal→binário) Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários). Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).

Tipos de Erros (4/6) - Arredondamento Aritmética de Ponto Flutuante Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101 0,007 = 0.7 x 10-2 35,42 = 0.3542 x 102 Representação no computador

Tipos de Erros (5/6) - Arredondamento Aritmética de Ponto Flutuante Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371

Tipos de Erros (4/6) - Arredondamento Aritmética de Ponto Flutuante Formato IEEE de ponto flutuante

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3) Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3) Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3) Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima (23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner) Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito Rompimento de uma das Células que compunham a parede Prejuízo: U$ 700 milhões

Erro Absoluto e Erro Relativo Duas formas de medir o erro. Erro Absoluto = valor real – valor aproximado. Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.

Outros Conceitos Importantes Complexidade computacional Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema. Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas. Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

Detalhes da Disciplina

Ementa Introdução Sistemas Lineares Interpolação Polinomial Ajuste de Curvas Equações Diferenciais Ordinárias Integração Numérica Raízes de Equações

Livro Texto Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numéricos, 2 ed., Rio de Janeiro: LTC. 2007. 428 p.

AVALIAÇÃO Duas provas parciais Um trabalho computacional 1ª prova: 4 primeiros itens da ementa 2ª prova: 3 últimos itens da ementa Um trabalho computacional Entrega: terceira semana de novembro Duas listas de exercício Entrega: uma aula antes das provas. Cálculo da Média: (0,7 x Médias das provas) + (0,25 x Trabalho Computacional) + (0,05 x Entrega das listas de exercício completas)

Horário de Atendimento 4ªs – 16:00 às 18:00 Página do Curso http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/an/mecanica20102.html