Lindenmayer Systems (L-Systems) Adriano Machado Jan/2004 Disciplina: Teoria de Linguagens Professor: Newton Vieira

Sumário Introdução Definição (L-Systems) Exemplo Interpretação Gráfica Aplicação Conclusão Referências Bibliográficas

Proposto por Aristid Lindenmayer em 1968; É um tipo particular de gramática; Um fundamento para a teoria do desenvolvimento ou crescimento biológico. Introdução

L-Systems  Define objetos complexos por sucessivas substituições de partes simples do objeto usando um conjunto de regras;  Regras são aplicadas em paralelo, substituindo-se simultaneamente todas as letras de uma dada palavra. Definição

Definição (0L-system) Uma 0L-system é uma tripla G=(Σ,w,P), onde Σ é o alfabeto do sistema, P é o conjunto finito de produções ou regras em Σ, sendo uma produção (a,x)  P escrita como a  x, onde a  Σ e x  Σ *, e w é uma palavra não vazia, chamada de axioma, tal que ω   +.

Definição (0L-system) Σ é um conjunto finito de símbolos formais, como a,b,c, etc.  Variáveis;  Constantes. w é uma palavra que define como o sistema começa, chamada axioma; P é um mapeamento de um símbolo para uma palavra x onde x  Σ *.

Exemplo L = ({a,b,c}, a, {a  b, b  ab}). Onde: Σ=(a,b,c) w = a P:a  b b  ab

Exemplo L = ({a,b,c}, a, {a  b, b  ab}).  Estado 0 : a 1  Estado 1 : b 1  Estado 2 : ab 2  Estado 3 : bab 3  Estado 4 : abbab 5  Estado 5 : bababbab 8  Estado 6 : abbabbababbab 13  Estado 7 : bababbababbabbababbab 21

Interpretação Gráfica Palavras contém informações sobre a geometria de uma figura; Interpretação gráfica das palavras  Estado é uma Tripla (x,y,a), onde (x,y) são coordenadas cartesianas e a, o ângulo de direcionamento;  F: move um passo de tamanho d;  +: vira à esquerda de um ângulo a;  - : vira à direita de um ângulo a.

Curva do Dragão L = ({a,b}, a, { a  ab, b  ab}).

Curva do Dragão

Geração 10

Curva do Dragão

Curva de Koch L = ({F,+,-}, F, { F  F + F - - F + F}).

Curva de Koch

Aplicação - Modelagem de Plantas Descrever formalmente a ramifica ç ão das estruturas encontradas em plantas; Estrutura modular das plantas facilita o uso; S í mbolos ‘ [ ‘ e ‘ ] ’, para determinar os desvios no gr á fico tartaruga; Predecessor gera sucessor.

Aplicação - Produções

Aplicação - Arbusto W = ++++F F=FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]

Aplicação - Palmeira (Phoenix dactyfera)

Aplicação - Modelagem de Penas e Aves Uma estrutura ramificada composta por módulos repetitivos; Partes fundamentais: o eixo, as farpas e contorno da pena; Renderização foto-realística.

Aplicação - Modelagem de Penas

Aplicação - Modelagem de Aves

Aplicação - Modelagem de Cidades Utiliza informações de mapas rodoviários, populacionais, etc.; Utiliza padrões de construção com base no histórico e legislação da região; Renderização foto-realística.

Aplicação - Modelagem de Cidades

Conclusão O uso de L-system na Computa ç ão Gr á fica tem se mostrado uma poderosa ferramenta para a modelagem; L-systems param é tricas contribuem de modo a permitir que o usu á rio crie facilmente tipos e formas diferentes; Com o aprofundamento das pesquisas, têm sido possível modelar estruturas cada vez mais complexas.

Referências [1] Lindenmayer, A., Mathematical models for cellular interactions in development, I: filaments with one-sided inputs", Journal of Theoretical Biology 18, (1968), pv [2] Chen, Y., Xu, Y., Guo, B., and Shum, H., Modeling and rendering of realistic feathers. ACM Transactions on Graphics 21(3): , [3] Parish, Y., M ü ller, P., Procedural Modeling of Cities. ACM Transactions on Graphics 21(3): pp , [4] Rozenberg, G., Salomaa, A., Handbook of Formal Languages. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [5] Prusinkiewicz, P., Hanan, J., Lindenmayer Systems, Fractals and Plants. Springer-Verlag, New York Inc., [6] Neto, J., L-Systems aplicados a computacao grafica. Monografia apresentada na disciplina Teoria de Linguagens, DCC/UFMG, [7] Prusinkiewicz, P., Hammel, M., Mech, M. and Hanan, J., The artificial life of plants. In Artificial life for graphics, animation, and virtual reality, volume 7 of SIGGRAPH '95 Course Notes, pages ACM SIGGRAPH, 1995 [8] Hearn, D.; Baker, M. P. Computer Graphics C version, 2 nd edition, Prentice Hall, [9] Rogers, D. F.; Procedural Elements for Computer Graphics, McGraw-Hill, 1985.