PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se Exercício: como reconhecer uma progressão geométrica Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão. É 5, 15, 45, 135, 405 ... uma progressão geométrica? E a sucessão de termo geral un=2n ?
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Se a razão de uma progressão geométrica é maior que um, a progressão é crescente, ou seja, cada termo é maior que o anterior. Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre zero e um, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Se a razão de uma progressão geométrica é igual a um, a progressão é constante, ou seja, tem todos os termos iguais. Se a razão de uma progressão geométrica é menor que zero, os seus termos são alternadamente positivos e negativos.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Termo geral de uma progressão geométrica A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2 a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3 a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4 Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: - A primeira é sempre a1 A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice. A expressão do termo geral é: Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.g. em que: 1) u1 = 10 e un+1 = 4un 2) u1 = 36 e u3 = 4 3) 4) n vn O 16 -2 4 -8 -32
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Soma de n termos consecutivos de uma p.g. A LENDA DO JOGO DE XADREZ Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro. Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante! Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado... Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Resolução: 1 2 4 8 16 32 64 128 Ora, Donde: 18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão. Exercício: Se uma p.g. tem o termo geral , calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos. Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”. Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente…
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduza uma conclusão que a realidade mostra ser falsa. Confirmemos matematicamente essa falsidade: Suponhamos que Aquiles se desloca dez vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros. A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então: Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros): Como é igual conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga depois de percorridos metros.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Só o conceito de limite permite esclarecer (25 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão cuja solução exige o cálculo da soma de todos os termos de uma progressão geométrica.