HID 007 - Hidrologia Determinação de Vazões Extremas Prof. Benedito C. Silva

Estimativas de vazões máximas Usos: Dimensionamento de estruturas de drenagem Dimensionamento de vertedores Dimensionamento de proteções contra cheias Análises de risco de inundação Dimensionamento de ensecadeiras Dimensionamento de pontes Morfologia fluvial Questões ambientais: relação rio-planície, vazões ambientais Outorgas de recursos hídricos

Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas TR (anos) Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10 Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100 Pontes Diques de proteção de cidades 50 a 200 Drenagem pluvial 2 a 10 Grandes barragens (vertedor) 10 mil Pequenas barragens 100

Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando: i. Valores máximos diários de cada ano ii. Um valor para cada ano hidrológico iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca. Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte

Série de vazões diárias

Seleção dos máximos anuais Máx. de 1996 Máx. de 1995/96 Máx. de 1995 Ano civil Ano hidrológico

Séries de vazões máximas

Séries de vazões máximas

Função distribuição de probabilidade acumulada Probabilidade de não-excedência Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x Probabilidade de excedência Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x

Função de distribuição empírica Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo: Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra n é o tamanho da amostra.

Exemplo de distribuição empírica Para o segundo valor:

Exemplo de distribuição empírica

Distribuições teóricas de probabilidade Distribuições usuais em hidrologia Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias) Log-Normal (vazões máximas) Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas) Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas) Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros

Distribuições teóricas de probabilidade

Distribuições teóricas de probabilidade

Distribuição de Gumbel (Extremos I) A função densidade de probabilidade acumulada é Ou, passando para probabilidade de excedência Onde, s - desvio padrão da série de valores máximos - média da série de valores máximos

Distribuição de Gumbel (Extremos I) Passando o logaritmo 2 vezes Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR

Distribuição Log-Pearson Tipo III Função densidade de probabilidade: Fórmula alternativa: A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por, = Desvio padrão dos logaritmos da vazões

Distribuição Log-Pearson Tipo III O parâmetro K é calculado por: Com, G é o coeficiente de assimetria

Usando a distribuição normal Calcular a média Calcular desvio padrão Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular a vazão para cada TR por

Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá

Exemplo: Rio Cuiabá em Cuiabá z P(y>0) TR Q 0,000 50 % 2 1789 0,842 20 % 5 2237 1,282 10 % 10 2471 2,054 2 % 50 2882 2,326 1 % 100 3026

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Cuiabá Subestima!

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do rio Guaporé Subestima!

Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

Problema Distribuição de freqüência de vazões máximas não é normal

Usando a distribuição Log - normal Calcular os logaritmos das vazões máximas anuais Calcular a média Calcular desvio padrão S Obter os valores de z da tabela para probabilidades de 90, 50, 20, 10, 4, 2 e 1%, que correspondem aos TR 1,1; 2; 5; 10; 25; 50 e 100 anos (exemplo) Calcular o valor de x (logaritmo da vazão) para cada TR por Calcular as vazões usando Q = 10x (se usar log) ou Q = ex (se usar ln) para cada TR

Ajuste da distribuição Log Normal aos dados do rio Guaporé

Distribuição Normal via Excel Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s

Distribuição Normal via Excel

Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel Média 190.4 m3/s Desvio padrão 53.5 m3/s

Exemplo de ajuste da Distribuição de Gumbel

Exemplo rio Guaporé

Comparação de resultados TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel 2 754 678 685 696 5 1050 1010 1013 1007 10 1204 1245 1236 1212 25 1369 1554 1522 1472 50 1475 1794 1737 1665 100 1571 2041 1953 1856

Considerações finais Vazões máximas não seguem distribuição normal. Distribuição assimétrica. Estimativa de vazões máximas com Log Normal Gumbel Log Pearson 3

Considerações finais Não há uma distribuição perfeita Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação Incerteza da curva – chave: as vazões máximas medidas possuem grande incerteza, devido às extrapolações existentes nas curvas-chaves do postos fluviométricos.

Vazão máxima para locais sem dados observados: método racional Qp=0,278 C I A Qp: vazão máxima (m3/s) C: coeficiente de run-off I: intensidade em mm/h A: área em km2 Área < 2 km2

Sequência de cálculo • Delimitar a bacia hidrográfica; • Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2, C3, etc.); • Cálculo do C (média ponderada) • Determinação do comprimento do curso principal L e a sua declividade S (ou H, que é o desnível entre o ponto mais afastado da bacia e o exutório);

Sequência de cálculo

Exemplo

(C = 0,10) (C = 0,85) (C = 0,25) (C = 0,20)

Solução Coeficiente de escoamento médio da bacia 𝑪= 𝟏,𝟎𝒙𝟎,𝟏+𝟎,𝟖𝒙𝟎,𝟖𝟓+𝟎,𝟗𝒙𝟎,𝟐𝟓+𝟐,𝟏𝒙𝟎,𝟐𝟎 𝟒,𝟖 =𝟎,𝟑𝟎

Solução Cálculo da intensidade da precipitação 0,30 9,88 m3/s

Vazões Mínimas

Estimativas de vazões mínimas Usos: Disponibilidade hídrica em períodos críticos Legislação de qualidade de água Questões ambientais (sobrevivência de espécies)

Vazões mínimas A análise de vazões mínimas é semelhante à análise de vazões máximas, exceto pelo fato que no caso das vazões mínimas o interesse é pela probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite No caso da análise utilizando probabilidades empíricas, esta diferença implica em que os valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente, ao contrário da ordem decrescente utilizada no caso das vazões máximas

Mínimas de cada ano ATENÇÃO: O ano hidrológico para mínimas deve conter o período de estiagem aproximadamente no seu centro

Série de vazões mínimas

Vazões mínimas em ordem cronológica ano data vazão 1970 4/jun 118.7 1971 24/nov 221.8 1972 3/jun 184 1973 23/ago 250.6 1974 24/ago 143 1975 5/set 198 1976 18/mai 194 1977 14/set 106.3 1978 15/mai 77.5 1979 30/abr 108 1980 5/mai 202 1981 17/set 128.6 1982 23/mai 111.4 1983 3/set 269 1984 19/set 158.2 1985 31/dez 1986 8/jan 1987 12/out 166 1988 13/dez 70 1989 27/dez 219.6 1990 17/mar 1991 24/set 1992 24/fev 204.2 1993 3/mai 196 1994 172 1995 130.4 1996 31/ago 121.6 1997 13/mai 1998 1/ago 320.6 1999 2/dez 101.2 2000 26/jan 118.2 2001 213 Vazões mínimas em ordem cronológica

Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor ano data vazão 1988 13/dez 70.0 1978 15/mai 77.5 1985 31/dez 1986 8/jan 1999 2/dez 101.2 1977 14/set 106.3 1979 30/abr 108.0 1982 23/mai 111.4 1991 24/set 2000 26/jan 118.2 1970 4/jun 118.7 1996 31/ago 121.6 1981 17/set 128.6 1995 19/set 130.4 1974 24/ago 143.0 1984 158.2 1987 12/out 166.0 1994 27/dez 172.0 1972 3/jun 184.0 1976 18/mai 194.0 1993 3/mai 196.0 1975 5/set 198.0 1997 13/mai 1980 5/mai 202.0 1992 24/fev 204.2 2001 213.0 1989 219.6 1971 24/nov 221.8 1990 17/mar 1973 23/ago 250.6 1983 3/set 269.0 1998 1/ago 320.6 ordem 1 2 3 … N = 32 Vazões mínimas ordenadas do menor para o maior valor

Distribuição empírica de vazões mínimas

Distr. empírica de vazões mínimas

Ajuste de distribuições teóricas Semelhante ao caso das vazões máximas Normalmente as vazões mínimas que interessam tem a duração de vários dias A vazão mínima mais conhecida é a Q7,10 Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.

Vazões mínimas RESOLUÇÃO CONAMA Nº 020, de 18 de junho de 1986 O CONSELHO NACIONAL DO MEIO AMBIENTE - CONAMA, no uso das atribuições que lhe confere o art. 7º, inciso IX, do Decreto 88.351, de 1º de junho de 1983, e o que estabelece a RESOLUÇÃO CONAMA Nº 003, de 5 de junho de 1984; … Art. 13 - Os limites de DBO, estabelecidos para as Classes 2 e 3, poderão ser elevados, caso o estudo da capacidade de autodepuração do corpo receptor demonstre que os teores mínimos de OD, previstos, não serão desobedecidos em nenhum ponto do mesmo, nas condições críticas de vazão (Qcrit. " Q7,10 , onde Q7.10, é a média das mínimas de 7 (sete) dias consecutivos em 10 (dez) anos de recorrência de cada seção do corpo receptor).

Vazões mínimas Distribuição Normal também não funciona

Distribuição de Weibull para mínimas Uma distribuição de freqüências teórica mais adequada para a estimativa de vazões mínimas de alto tempo de retorno é a distribuição de Weibull (veja em Naghettini e Pinto, 2007) Na análise de vazões mínimas usando a distribuição de Weibull é usada a equação:

Distribuição de Weibull para mínimas onde

e onde:

e onde… H0 = 0,2777757913 H1 = 0,3132617714 H2 = 0,0575670910 H3 = -0,0013038566 H4 = -0,0081523408

Weibull G é o coeficiente de assimetria; G é a função Gama, que é uma generalização da função fatorial para números reais não inteiros. Uma dificuldade da aplicação da distribuição de Weibul é a necessidade de calcular o valor da função Gama. O valor da função Gama é dada por:

Weibull e a função gama O programa Excel permite calcular o valor do logaritmo da função gama através da função LnGama(x). o resultado é o logaritmo natural da função gama, para obter a função gama, basta fazer a operação inversa

ano Vazão mínima 1980 202 1981 128.6 1982 111.4 1983 269 1984 158.2 1985 77.5 1986 1987 166 1988 70 1989 219.6 1990 221.8 1991 1992 204.2 1993 196 1994 172 1995 130.4 1996 121.6 1997 198 1998 320.6 1999 101.2 2000 118.2 2001 213 Exemplo A tabela ao lado apresenta as vazões mínimas anuais observadas no rio Piquiri, no município de Iporã (PR). Considerando que os dados seguem uma distribuição Weibull, determine a vazão mínima de 5 anos de tempo de retorno.

Solução Média = 163 Desvio padrão = 65.2 Além disso é calculado o coeficiente de assimetria. Usando a função do Excel (Distorção(x)) o valor encontrado é G=0,5662 A partir destes dados é calculado o valor de Usando a função do Excel LnGama(x) são calculados os valores de B(l) e A(l). B(l)=2,2726 A(l)=0,2599 E com estes valores são calculados os termos K para cada tempo de retorno T em anos, conforme a tabela a seguir

Exemplo Weibull - tabela TR K Vazão Weibull 2 -0.10153 156.5 5 -0.89405 104.8 10 -1.22803 83.0 25 -1.51140 64.6 50 -1.65317 55.3 100 -1.75422 48.7

Normal x Weibull

Considerações finais vazões mínimas Vazões mínimas não seguem uma distribuição normal Distribuição de Weibull pode ser usada nestes casos Normalmente se trabalha com mínimas de vários dias de duração

Vazões mínimas na prática Obter dados diários Calcular médias móveis (???!!!!) Encontrar menores valores de cada ano na série da média móvel Usar Weibull com os dados da série de mínimos obtidos no passo 3

do livro Stream Hydrology: An introduction for Ecologists – de Gordon et al.

EXERCÍCIO Escolha um posto fluviométrico com série histórica de pelo menos 30 anos de dados (30 anos sem contar anos sem dados) e determine: 1. Vazões máximas a. A série de vazões máximas diárias; b. A distribuição empírica das vazões máximas diárias; c. As vazões máximas diárias para tempos de retorno entre 1 e 10.000 anos, calculadas pelas distribuições Log-Normal, Gumbel e Log-Pearson 3; d. O gráfico com as distribuições calculadas; e. Apontar a distribuição teórica que melhor se ajusta aos dados observados; 2. Vazões mínimas a. A série de vazões mínimas de duração 7 dias; b. A distribuição empírica das vazões mínimas e 7 dias; c. As vazões mínimas de 7 dias, para mesmos tempos de retorno da distribuição empírica, calculadas pela distribuição de Weibull; e. Apontar o valor da vazão Q7,10. Entrega: em dupla, até o dia 24/06