Grafos e Algoritmos Computacionais Pontifícia Universidade Católica 1º semestre de 2009 Prof. Rainer Ronnie Pereira Couto

Programa Introdução, conceitos básicos, classificação, Isomorfismo. Caminhos e circuitos, caminhamentos em grafos, algoritmo de Dijkstra. Grafos Eulerianos, grafos Hamiltonianos. Árvores, árvore geradora mínima. Cut-set e cut-vértices, grafos planares, espessura de grafos, cruzamento de arestas, dualidade. Coloração de grafos, dominância, independência, cobertura. Matching, fluxo em redes. Problemas NP, problemas NP em grafos.

Bibliografia Material disponibilizado pelo professor. Livro: Graph Theory, Robin J. Wilson. Bibliografia adicional. Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, Prentice-hall, 1996. Nivio Ziviani, projeto de algoritmos, editora pioneira Thomson, 2005. Reinhard Diestel, GraphTheory, Springer, 1997. (http://www.math.Uni- hamburg.De/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.pdf).

Avaliação Página do curso: www.dcc.ufmg.br/~rainerpc/cursos/grafos e Learnloop 75% de presença em sala de aula SEM abono de faltas Distribuição dos pontos 2 provas de 25 pontos 3 trabalhos: 10 pts, 15 pts, 15 pts 2 Listas de exercícios: 5 pts cada

Alguns problemas que serão abordados em Grafos...

Problemas de grafos (1/11)‏ Três canibais e três missionários estão viajando juntos e chegam à margem de um rio. Eles desejam atravessar para a outra margem para, desta forma, continuar a viagem. O único meio de transporte disponível é um barco que comporta no máximo duas pessoas. Há uma outra dificuldade: em nenhum momento o número de canibais pode ser superior ao número de missionários pois desta forma os missionários estariam em grande perigo de vida. Como administrar a travessia?

Problemas de grafos (2/11)‏ Considere que temos três potes com capacidades de 8, 5 e 3 litros, respectivamente, os quais não possuem qualquer marcação. O maior deles está completamente cheio enquanto que os outros dois estão vazios. Estamos interessados em dividir o vinho em duas porções iguais de 4 litros, tarefa esta que pode ser realizada por transferências sucessivas de um vaso no outro. Qual o menor número de transferências necessários para completar a divisão?

Problemas de grafos (3/11)‏ A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá- los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada, etc. Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz: Bono:- 1 minuto para passar Edge:- 2 minutos para passar Adam:- 5 minutos para passar Larry:-10 minutos para passar Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso. Como organizar a travessia?

Problemas de grafos (4/11)‏ De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte.

Problemas de grafos (5/11)‏ No século 18 havia na cidade de Königsberg um conjunto de sete pontes que cruzavam o rio Pregel . Elas conectavam duas ilhas (A e D) entre si e as ilhas com as margens (B e C). Por muito tempo os habitantes daquela cidade perguntavam-se se era possível cruzar as sete pontes numa caminhada contínua sem que se passasse duas vezes por qualquer uma delas.

Problemas de grafos (6/11)‏ Uma criança diz ter posto a ponta do lápis numa das bolinhas e com movimentos contínuos (sem levantar e sem retroceder o lápis) traçou as linhas que formam o desenho da casa, traçando cada linha uma única vez. A mãe da criança acha que ela trapaceou pois não foi capaz de achar nenhuma seqüência que pudesse produzir tal resultado. Você concorda com esta mãe?

Problemas de grafos (7/11)‏ Suponha que a área de venda de um caixeiro viajante inclua várias cidades, muitas das quais, aos pares, estão conectadas por rodovias. O trabalho do caixeiro requer que ele visite cada cidade pessoalmente. Sob que condições seria possível que ele estabelecer uma viagem circular (que o leve ao ponto de partida) de forma a que ele visite cada cidade exatamente uma vez?

Problemas de grafos (8/11)‏ Considere o jogo de xadrez. Seguindo as regras de movimento do cavalo, é possível que um cavalo parta de uma casa qualquer, percorra todo o tabuleiro visitando cada casa uma e somente uma única vez e retorne à casa inicial ?

Problemas de grafos (9/11)‏ A Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos mantém vários postos de coleta de correspondência espalhados pela cidade, inclusive em bairros mais afastados. A localização e a quantidade destes postos são por vezes modificados de forma que diariamente o motorista responsável por recolher a correspondência recebe um esquema que mostra o melhor percurso para passar em todos os postos de coleta. Este esquema é montado manualmente por um funcionário da E.C.T.. Este funcionário não agüenta mais as reclamações dos motoristas de que as rotas que ele traça nunca são as melhores e pede demissão. O chefe, sem saber como tratar o problema, resolve contratar um especialista (você), para resolvê-lo. Como você modelaria o problema? Como encontrar a melhor rota? Que particularidades devem ser tratadas?

Problemas de grafos (10)‏ Como o Orkut organiza sua base de dados? Como o Orkut determina o caminho entre duas pessoas? Rainer C > Carlos S > Leonardo D > Rodolfo B

Problemas de grafos (11)‏ Com quantas cores no máximo é possível colorir qualquer mapa de forma que países vizinhos tenham cores diferentes?

Dúvidas?