Conexidade e Conectividade

Apresentação em tema: "Conexidade e Conectividade"— Transcrição da apresentação:

1 Conexidade e Conectividade
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Março

2 Conexidade A noção de conexidade está relacionada à possibilidade da passagem de um vértice a outro em um grafo através das ligações existentes. Um grafo qualquer (orientado ou não) é não-conexo, ou desconexo, se existir ao menos um par de vértices não unidos por uma cadeia.

3 Conexidade Portanto, um Grafo G = (V, E) é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.

4 Conexidade G1 G G3 G4 G5 Os grafos G1, G2 e G3 não admitem a passagem de um vértice dado a qualquer outro vértice. Os grafos G4 e G5 ela é sempre possível, G4 sendo minimal em relação a essa propriedade (como se pode observar, ao se tentar suprimir qualquer aresta).

5 Conexidade G1 G G3 G4 G5 Esta propriedade só existe em G5, embora desde G3 os vértices estejam unidos. Além disso, pode-se observar que, tanto em G4 como em G5, nenhum par de vértices é mutuamente não atingível: ao menos uma das duas direções é viável. Isto já não ocorre em G3, pois os dois vértices da direita são mutuamente inatingiveis.

6 Conectividade Dois vértices u e v em um dígrafo são mutuamente alcançáveis (atingíveis) se existe um caminho de u para v e outro de v para u v y u w x

7 Conexidade Grafo simplesmente conexo (s-conexo) - Todo par de vértices é ligado por ao menos uma cadeia. A definição é a mesma do caso não orientado Grafo semi-fortemente conexo (sf-conexo) - Para todo par de vértices u, v, ou existe um caminho de u até v ou existe um caminho de v até u. Grafo fortemente conexo (f-conexo) - Para todo par de vértices u, v existe um caminho de u até v e existe um caminho de v até u.

8 Conexidade

9 Conectividade Um dígrafo fortemente conectado v y u w x

10 Conexidade Obs.: todo grafo f-conexo é também sf-conexo e s-conexo e que todo grafo sf-conexo é também s-conexo Um dígrafo é conexo se seu grafo base (não direcionado) é conexo

11 Conexidade Sub-grafos conexos de um grafo não conexo recebem o nome de componentes conexos O grafo abaixo tem 3 componentes conexos z v x u r w y q

12 Exercício Suponha que o grafo abaixo representa as ruas do centro da cidade. Torne todas as ruas em sentido único, de tal forma que todo ponto seja alcançável a partir de qualquer outro ponto b a c f d g e

13 Conectividade A conectividade de vértices k(G) de um grafo G =(V,E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou o reduz a um único vértice. A conectividade de arestas k’(G) de um grafo G = (V, E) é o menor número de arestas cuja remoção resulta em um grafo não conexo

14 Árvores Uma árvore é um grafo conectado que não tem ciclos Árvore
Não é árvore Não é árvore

15 Aplicações de Grafos Diretórios do Sistema Operacional: os diretórios e subdiretórios que contém os arquivos do usuário são normalmente representados pelo sistema operacional como vértices em uma árvore com raiz Drive C Softs Docs Utils Draw Write Comm Geral Aulas Word

16 Aplicações de Grafos Redes minimamente conectadas: suponha que uma rede deve ser criada a partir de n computadores. A figura abaixo mostra uma rede com um número mínimo de arestas.

17 Aplicações de Grafos Problema do caminho mais curto: considere que cada aresta contém o tempo necessário para atravessá-la, ache o menor tempo para ir se s para t s 8 3 2 9 2 4 7 3 3 6 2 8 9 7 5 1 4 5 t

18 Aplicações de Grafos Problema do caixeiro viajante: suponha que um vendedor deve visitar várias cidades no próximo mês. Ache a seqüência de visitas (ciclo hamiltoniano) de forma a minimizar o custo da viagem. O problema do caixeiro viajante é NP-difícil e tem motivado a criação de inúmeros métodos de solução diferentes. 10 9 9 5 6 5 7 7 7 10 7 11 9 6 6 18