ELECTRICIDADE: Fluxo e Lei de Gauss Aula – 4 LICENCIATURA EM PILOTAGEM – EAD ELECTRICIDADE: Fluxo e Lei de Gauss Aula – 4 Docente: Moisés João Chambule

FLUXO E LEI DE GAUSS   Conceito de fluxo Lei de Gauss. Aplicações da Lei de Gauss. Forma diferencial da Lei de Gauss. As equaçao de Maxwell da electrostática.

Lei de Gauss O campo eléctrico pode ser descrito qualitativamente através das linhas de campo. Esta descrição esta relacionada a uma equação matemática conhecida como Lei de Gauss, que estabelece a ligação entre o campo eléctrico sobre uma superfície fechada e a carga no interior da superfície.

A lei de Gauss permite calcular campos eléctricos de distribuições simétricas de carga. Para a formulação da lei de Gauss joga um papel fundamental o conceito de “fluxo eléctrico”. Consideremos uma superfície plana de área A num campo eléctrico E.

Definiremos o fluxo eléctrico como sendo o produto da intensidade do campo E pela área A. ... Fluxo eléctrico para uma superfície plana perpendicular ao campo, onde n e’ um vector unitário da superfície. Tratando-se de um produto escalar em θ = 0, então Unidades do Fluxo eléctrico: Quando o campo E forma com a normal n um Ângulo θ, o fluxo será dado pela expressão: Se a superfície for curva, independentemente de o campo ser uniforme ou não, a superfície é dividida em pequenos elementos superficiais dA1, dA2, dA3,... Para cada elemento e’ traçado o vector unitário n dirigido perpendicularmente para fora da superfície.

Acha-se para cada superfície elementar o respectivo fluxo eléctrico Integrando para toda a superfície resulta Num ponto onde as linhas de campo eléctrico saem da superfície, E esta’ dirigido para fora e F é positivo. Num ponto onde as linhas do campo eléctrico entram na superfície E esta dirigido para dentro e F e’ negativo. O Fluxo total Φt, também denominado fluxo liquido, através de uma superfície fechada será positivo ou negativo conforme E na superfície é predominantemente dirigido para fora ou para dentro da superfície.

O fluxo de qualquer parte da superfície é proporcional ao número de linhas de campo que passam através da sua superfície. O fluxo líquido é proporcional ao número líquido das linhas de campo que saem da superfície, isto é, o número de linhas que saem menos o número das linhas que entram através da superfície. Assim o fluxo líquido através de uma superfície qualquer fechada será Seja a superfície fechada de forma esférica:

O campo eléctrico em qualquer ponto desta superfície é perpendicular a superfície e tem o módulo O fluxo líquido através desta superfície é , onde En saiu fora do integral por esta componente ser constante em qualquer ponto da superfície. O integral de dA sobre a superfície é igual a área total da superfície, ou seja, 4πR2. Então Conclusão: O fluxo eléctrico liquido que passa por uma superfície esférica que envolve uma carga eléctrica Q puntiforme, é 4πKo vezes o valor da carga puntiforme.

Lei de Gauss: O fluxo líquido através de qualquer superfície é igual a 4πKo vezes a carga líquida no interior da superfície. Em termos de εo teremos: A lei de Gauss é válida para todas as superfícies e todas as distribuições de carga. Para N cargas pontuais distribuídas discretamente teremos por exemplo:

1.1.7.1. Campo eléctrico E nas vizinhanças de uma carga puntiforme Quando a distribuição de carga é muito simétrica, como o caso de uma esfera uniformemente carregada, ou de uma recta infinita com carga eléctrica uniforme, é possível encontrar uma superfície matemática na qual se sabe, por simetria, que o campo eléctrico é constante e perpendicular à superfície. Podemos então calcular com facilidade o fluxo eléctrico através da superfície e usar a lei de Gauss para relacionar o campo, a carga e a superfície.

Consideremos uma carga pontual q localizada no centro de uma superfície esférica para a qual, por simetria, o vector campo eléctrico E é radial e o seu módulo depende só da distância à carga. Neste caso a componente normal En coincide com E. Então En =E.n=Er, e tem o mesmo valor em qualquer ponto da superfície esférica. O fluxo líquido através desta superfície será donde Então . Considerando e

Conclusão: As duas leis são equivalentes no que respeita a cargas em repouso. 1.1.7.2. Campo eléctrico E nas vizinhanças de um Plano Infinito de Cargas Seja σ a densidade superficial de carga de um plano infinito xy. Por simetria, sabe-se que o campo eléctrico deve ser perpendicular ao plano e só depende da distância z ao plano. Além disso o campo eléctrico tem o mesmo módulo nas duas faces do plano, mas sentidos opostos, nos pontos igualmente distantes do plano, numa e na outra face. A superfície gaussiana será um cilindro, com eixo perpendicular ao plano e com o centro sobre o plano.

Cada base do cilindro é paralela ao plano e tem a área A Cada base do cilindro é paralela ao plano e tem a área A. Neste caso E é paralelo a superfície cilíndrica, de modo que não há fluxo do campo eléctrico através desta superfície curva. O fluxo através de cada base do cilindro é EnA, de modo que o fluxo total é 2EnA. A carga no interior da superfície é σA. A lei de Gauss dá-nos donde ou Este resultado é idêntico ao obtido anteriormente com ajuda da lei de Colombo, para o campo de um plano infinito de cargas.

1.1.7.3. Campo eléctrico E nas vizinhanças de uma Recta Infinita de Cargas Seja dada uma recta de grande comprimento, com uma densidade linear de carga uniforme λ. Pretende-se determinar o seu campo eléctrico a uma dada distancia r. Vamos escolher como superfície gaussiana uma superfície cilíndrica de comprimento L e raio r, com o eixo sobre a recta. Por simetria, nos pontos afastados das extremidades da recta, as linhas do campo eléctrico partem radial e uniformemente da recta carregada. O campo eléctrico é então perpendicular a superfície cilíndrica e tem o mesmo valor em todos os pontos desta superfície.

O fluxo eléctrico será dado pelo produto do campo eléctrico com a área da superfície cilíndrica. Não há fluxo através das bases do cilindro. A carga no interior da superfície é igual a λL. Segundo a lei de Gauss Teremos A área lateral total do cilindro é 2πrL. Substituindo resulta Conclusão: Este resultado coincide com o obtido pela integração directa sobre a recta de cargas eléctricas.

1.1.7.4. Campo eléctrico E no interior e no exterior de uma casca cilíndrica electricamente carregada Para calcular o campo no interior de uma casca cilíndrica de raio R e densidade superficial de carga uniformes, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio r<R, co-axial a casca cilíndrica. Por simetria o campo é normal a esta superfície gaussiana e tem o modulo Er, constante em todos os pontos da superfície.

O fluxo do campo E através desta superfície gaussiana é então Onde 2πrL é a área da superfície gaussiana. Uma vez que a carga total no interior desta superfície é nula, da lei de Gauss resulta que Portanto para r<R Conclusão: O campo eléctrico no interior de uma casca uniformemente carregada é nulo em todos os pontos. Para acharmos o campo eléctrico no exterior da casca cilíndrica, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r>R.

Por simetria, E é perpendicular a superfície gaussiana e o seu modulo Er é constante em todos os pontos da superfície. O fluxo é Er2πrL, mas agora a carga no interior da superfície é Q= σA= σ2πRL. A lei de Gauss dá-nos então Portanto Considerando que o comprimento L da casca cilíndrica tem uma carga Q= σ2πRL, a carga por unidade de comprimento da casca cilíndrica será λ= σ2πR, donde σ= λ /2πR.

Substituindo na equação de Er teremos r>R Conclusão: Este resultado coincide com o do campo E a uma distância r de uma recta infinita uniformemente carregada. Assim, o campo eléctrico no exterior de uma casca cilíndrica de cargas eléctricas coincide com o campo eléctrico que se teria se toda a carga estivesse concentrada no eixo do cilindro.

Lei de Gauss na forma diferencial Dos conceitos sobre campos e operadores vectoriais, pode ser deduzida a divergência do campo eléctrico e a Lei de Gauss pode ser expressa de modo bastante resumido na sua forma diferencial: ou Significado físico A divergência do campo eléctrico, não nula, indica a presença duma densidade de carga eléctrica no ponto considerado, ou seja, cargas eléctricas são fontes de linhas de força.

As equações de Maxwell da electrostática 1ª equação de Maxwell Lei de Gauss na forma integral Lei de Gauss na forma diferencial

FIM O MEU MUITO OBRIGADO 4/22/2017