MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS 4º MÓDULO

TEMA: Regressão de Mínimos Quadrados.

META: Obter modelos matemáticos que se ajuste a dados da vida real, e estes modelos devem ser simultaneamente tão simples e tão precisos quanto possível.

PROB: Suponhamos que os dados observados consistem em pares (X1,y1) (X2,y2) ... (Xn,yn) sejam conhecidos, e que a meta seja encontrar uma função y=f(x) que melhor se ajuste a estes valores.

Para tanto, podemos nos basear da seguinte maneira:

PASSO 1: Decidir que tipo de função. TESTAR: A - Isto pode ser feito através de uma análise teórica da situação prática subjacente, ou B – pela inspeção do gráfico dos pontos citados.

PASSO 2: Determinar a função específica. DICA: Uma vez escolhido o tipo de função, o próximo passo é determinar a função específica desse tipo de gráfico que está “o mais próximo” do conjunto de dados de pontos.

EM RESUMO: Queremos encontrar uma função y=f(x) que melhor se ajuste a estes valores.

GRAFICAMENTE, TEMOS: y P4 y4 E4 P1 y3 E3 E1 y2 E2 y1 P3 P2 x

Ei = é a distância vertical do ponto Pi até a curva y=f(x). Neste que, uma forma conveniente de medir quão próximo uma curva, y=f(x), está de um determinado conjunto de pontos é calcular a soma dos quadrados das distâncias verticais dos pontos até a curva. No caso acima temos: E2 = E2+E2+...+E2 1 2 n Onde: Ei = é a distância vertical do ponto Pi até a curva y=f(x).

CONCLUSÃO: Quanto mais próximo da curva estiverem os pontos, melhor será esta soma, e a curva para qual esta soma é mínima é a “melhor” aproximação das observações da vida real. Isto é matematicamente provado de acordo com critério dos mínimos quadrados.

No caso polinomial do 1º grau (caso estatística linear), temos: f(x)=ax+b E2 = (y1-ax1-b)2+(y2-ax2-b)2+...(yn-axn-b)2 Queremos a e b em termos das observações reais tais que: E2 = min [(y1-ax1+b)2+...(yn-axn+b)2] min

Então pelo MMR segue-se: n xiyi - xi yi M M M a= n xi – ( xi) M 2 M 2 & 1 ( M yi - a xi) M b= n ou M M M xi 2 yi M - xi xi yi b= n xi – ( xi) M 2 M 2

Aprofundando a Análise do processo de Regressão Linear: A regressão polinomial do 1º grau ou modelo estatístico de regressão linear, é utilizado para explicar o prever de determinados eventos, baseando-se em fatores que podem ser qualitativos ou quantitativos, mais que sejam relacionáveis entre si. Por exemplo, consumo de cigarros e mortes devido a câncer de pulmão ou para um dado país , ano e renda familiar.

yi = axi+b+Ei yi = é a y observado yi = “ “ y estimado Considere um conjunto de dados advindo de observações da vida real: (x1,y1),...(xn,yn) o modelo matemático “linear mais propício para exprimir estas duas variáveis é o seguinte: ^ yi = axi+b+Ei Onde: yi = é a y observado ^ yi = “ “ y estimado

ATENÇÃO - 1 : A pesar de terem sido estimados os valores dos parâmetros de um modelo matemático e mesmo sabendo que a soma dos erros, ao quadrado, é a mínima, não se pode afirmar que esta reta representa bem os dados empíricos.

Como a reta de regressão é um resumo útil da tendência das observações, surge a seguinte questão: Qual útil é a reta de regressão de mínimos quadrados ? A resposta é baseada em duas medições estatísticas importantes: O Erro Padrão da Estimativa O coeficiente de determinação

S2e= M (yi – yi) (n-2) Variância da amostra Se com (n-2) ^ O valor de Se representa a parte não-explicada da regressão.

Se= M (yi – yi) (n-2) O desvio padrão Se é dado por: ^ Onde: Se- desvio padrão é conhecido como erro padrão da estimativa, que mede a dispersão dos desvios ao redor da reta regressão.

+y y-2Se≤y≤2Se _ _ ATENÇÃO - 2 : ^ Sendo realizado o processo de regressão linear, se espera que aproximadamente 95% dos dados observados y se encontrem dentro do intervalo: _ _ ^ ^ +y y-2Se≤y≤2Se De seus respectivos valores projetados pela reta de regressão y. ^

r = (yi – yi) (yi – yi) COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO : M M ^ 2 (yi – yi) 2 r = i=1 2 M N (yi – yi) i=1 Onde y representa a média aritmética de y. DEFINIÇÃO : O coeficiente de correção r mede o grau de associação linear de duas variáveis de um mesmo experimento.

Suponhamos que escolhemos como modelo de regressão a reta horizontal y=y(*) isto é, a equação (*) representa a média de y. Neste caso a=0, isto mostra que o valor da variância é zero e, conseqüentemente, o coeficiente de correção é nulo. Na verdade, a reta média não explica nada mais é um ponto interessante de partida. ^

r = r = yi – y xi – x GRAFICAMENTE : y= ax+b yi yi y xi x M (yi – y) M ^ y= ax+b yi Variação não- explicada ^ yi TEMOS : Variação Explicada y ^ Ø yi – y a = tg = Ø b xi – x x xi M 2 (yi – y) Variação Total = 2 r = Variação Explicada M ^ 2 (yi – y) Variação Explicada = Variação Total M ^ 2 (yi – yi) Variação Não-Explicada = M ^ 2 2 r = (yi – y) M 2 Variação Total = Var.Não-Exp. + Var.Exp. (yi – y)