Flow in a cilindrical pipe Lecture 9 Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Aplicação directa dos princípios fundamentais da mecânica a um volume de control Permitir uma compreensão dos fenómenos físicos e a sua ligação aos princípios fundamentais Qualquer hipótese simplificativa introduzida para a obtenção de uma solução, terá que ser pesada nas suas consequências sobre o resultado final Objectivo é o conhecimento do campo da velocidades Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Escolher um volume de control Exprimir matemáticamente as implicações impostas pelos princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento (2ª lei de Newton) Na generalidade: o princípio de conservação da massa leva à confirmação da independência do campo das velocidades numa das direcções O princípio da conservação da quantidade de movimento estabelecerá o balanço de forças que actuam no volume de control, irá fornecer uma relação de dependência entre as forças associadas ao campo da velocidade e as outras forças actuantes Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Forças podem classificar-se em dois tipos distintos: Forças de superfície – podem ter componentes normais à superfície (i.e. Forças de pressão) e/ou componentes tangenciais (i.e. Forças de corte) Forças de volume (forças mássicas) - representam acçõe sà distância, as forças derivadas de potenciais (gravítico, eléctrico, magnético). No nosso caso interessará a acção do campo gravítico, i.e., o peso Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Flow in cilindrical pipe Suponha-se um escoamento estacionário, no interior de um tubo cilindrico, de um fluido viscoso. Suponha-se um tubo horizontal de raio R. Considere-se a região central do tubo, suficientemente afastada das secções de entrada e saída do tubo. Seja X 1 o eixo do tubo e r a distância radial ao eixo. Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

A configuração simétrica ao longo de x 1 ou ao longo da direcção tangencial  Na região vizinha à parede do tubo a velocidade é paralela à parede do tubo alinhada com x 1, leva a supor que o campo da vcelocidade é do tipo:

Mass budget Um volume de control que terá que ter uma dimensão suficientemente pequena segundo a direcção radial: Coroa cilíndrica de raio r, espessura  r e complimento l 1 terá a vantagem de ter duas faces paralelas ao vector velocidade. Escoamento simétrico o elemento de área tranversal pode ser tomado como uma anel circular de área dA=2  r  r Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Mass Budget Regime estacionário, não há variação de massa m no interior do volume dm/dt=0. Massa que entra na unidade de tempo: Massa que sai na unidade de tempo:

Mass Budget Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016 A aplicação do princípio de conservação da massa implica: Referindo esta equação à unidade de massa, i.e. Dividindo ambos os membros por :

Momentum budget Aplicando o princípio da quantidade de movimento, que estabelece que, para escoamentos estacionários, a diferença entre o momento que abandona o volume e o que entra no volume na unidade de tempo é igual à soma das forças aplicadas ao volume. Dado que só uma das componentes da velocidade é não nula bastará escrever a equação do balanço de forças para esta componente. Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Momentum Budget The budget is null because the velocity is not changing, i.e. there is no acceleration.

Applied forces Forças aplicadas: Forças de pressão: a existência de uma fronteira lateral sólida permite que a pressão possa variar de montante para jusante do escoamento Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Forças aplicadas: Forças de de corte de origem viscosa: estas forças só se vão fazer sentir nas paredes A 3 e A 4. Representando por  o valor absoluto da tensão de corte, e notando que u 1 decresce quando r aumenta, conclui-se qua a tensão de corte A 3 é positiva e em A 4 é negativa Peso: no presente caso, tubo horizontal, a componente g segundo x 1 é nula Applied forces

x z ΔzΔz ΔxΔx Θ Peso (plano não horizontal)

Applied forces Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016 A aplicação à direcção x 1 do principio da conservação da quantidade de movimento fornece o seguinte resultado: Weight or pressure gradient promote the flow on the same way.

Passando o limite quando,  r, tende para zero: No eixo de simetria, r=0 e  é finito, logo C=0. E reparando que : Substituindo:

C pode ser determinado atendendo que a velocidade é nula na fronteira sólida em r=R, u=0

Análise dos Resultados Velocity is proportional to r 2, i.e. the velocity profile is a parabola. Shear stress is the derivative of the velocity and is a linear profile. Shear on the wall balances the pressure force: r

Discharge and average velocity

Friction coefficient Tensão de corte na parede: