Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó

Apresentação em tema: "Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

2 Intervalo de Confiança Um parâmetro pode ser estimado através de um único valor (estimador pontual) Uma alternativa é definir um intervalo de estimativas mais prováveis de acordo com a distribuição teórica da estatística (estimador), que é uma v.a. f( ) 0 X f(x)f(x) 0  ?  X 1, X 2,..., X n amostra X 1, X 2,..., X n X f(x)f(x) 0  ?  2 Qual a probabilidade de que tenha exatamente o valor de  ? (improvável)

3 Intervalo de Confiança para  distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido Se : Se n for grande (ou seja, adotando-se o TLC): mesmo não se conhecendo a distribuição de X 3 amostra aleatória

4 -- ++ 0 Intervalo de Confiança para  (Normal Padrão) distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido valores mais freqüentes se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) 4

5 -- ++ 0 Intervalo de Confiança para  (Normal Padrão) z-z IC para  nível de significância nível de confiança Z distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC) 5

6 Intervalo de Confiança para  Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  também desconhecida e variância  2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que -- ++ 0 95% z-z 2,5% ? 6

7 Intervalo de Confiança para  7 -- ++ 0z

8 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  também desconhecida e variância  2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que -- ++ 0 95% z-z 2,5% ? 1,96 Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos, ou seja, com limites mais próximos da média verdadeira? - diminuindo-se o nível de confiança - aumentando-se o tamanho da amostra 8

9 Como Interpretar o IC para  ? Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se. Em seguida determina-se o IC para  com 95% de confiança, ou seja Interpretação: 95% dos possíveis IC obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média  Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com  = 10 e  2 = 4  (O IC varia para cada amostra!!!) (ver IC.xls) 9

10 Intervalo de Confiança para  2 10 Antes de construir o Intervalo de Confiança para  2, é preciso apresentar a distribuição Qui-quadrado, que é a base para a construção desse IC.

11 Distribuição  2 (lê-se qui-quadrado) (lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade) 0 ++ g  2 0 ++ g > 2 Propriedades: a) se, então b) se, então 11

12 Distribuição  2 0 ++ 12

13 Distribuição  2 0 ++ 13

14 Distribuição  2 Se Substituindo-se  por tem-se que (perde-se 1 grau de liberdade) mas 14 (a distribuição da população deve ser normal!) amostra aleatória

15 Intervalo de Confiança para  2 IC para  2 0 ++ 22 15

16 Intervalo de Confiança para  2 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média  e variância  2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para  2 supondo que s 2 = 2,34. ? 0 ++ ? 16

17 Distribuição  2 0 ++ 17

18 Intervalo de Confiança para  2 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média  e variância  2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para  2 supondo que s 2 = 2,34. ? 12,40 0 ++ ? 39,36 18

19 ??? -3,50,5100,9 Graus de liberdade 19 De modo geral, pode-se entender “grau de liberdade” como o número de valores que, no final de um cálculo de uma estatística, estão “livres para variarem”, ou seja, que têm o comportamento de variáveis aleatórias. Por exemplo: deseja-se avaliar os desvios em torno da média a partir de uma amostra de 3 valores retirados de uma população normalmente distribuída. Amostra: Quais são os valores possíveis de serem obtidos nesta amostra? R: Neste caso, posso escolher “livremente” quaisquer 3 valores entre -  e +  (  é conhecida)

20 Graus de liberdade 20 Agora, se  é desconhecido e o substituímos por... Amostra: Como então Assim, ao se escolher os dois primeiros valores, o terceiro é necessariamente conhecido. Neste caso, perde-se 1 grau de liberdade As perdas de graus de liberdade acontecem sempre que um parâmetro é substituído por seu estimador ??? -1,50,11,4

21 Intervalo de Confiança para  com  2 desconhecida 21 Para construir o Intervalo de Confiança para  com  2 desconhecida, é necessário apresentar uma nova distribuição chamada t de Student.

22 Distribuição t de Student (lê-se: X tem distribuição t de Student com g graus de liberdade) Propriedades: tgtg -- ++ 0 a) seeentão b) seentão 22

23 Distribuição t de Student -- ++ 0t 23

24 Distribuição t de Student 24 Se (a distribuição da população deve ser normal!) amostra aleatória Lembrete:

25 -- ++ 0 t-t IC para   e  2 desconhecidos T 25 Intervalo de Confiança para  com  2 desconhecida

26 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média  e variância  2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que e s 2 = 16. -- ++ 0 95% t-t 2,5% ? 26 Intervalo de Confiança para  com  2 desconhecida

27 Distribuição t de Student -- ++ 0t 27

28 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição normal com média  e variância  2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que e s 2 = 16. -- ++ 0 95% t-t 2,5% ? 2,064 28 Intervalo de Confiança para  com  2 desconhecida

29 Intervalo de Confiança para proporção p Numa urna, há N bolas, sendo K vermelhas e N – K azuis. Assim, pode-se dizer que K/N representa a proporção p de bolas vermelhas na urna (que por sua vez, representa a probabilidade de se selecionar uma bola vermelha desta urna). Mas se N e K são desconhecidos, como estimar p ? Proporção Amostral X i ~ Bernoulli p = P(X i = 1) (se n é grande) 29 Considere que n bolas são escolhidas ao acaso (com reposição), definindo-se Y como o número de bolas vermelhas entre as n selecionadas, qual a distribuição de Y ? Y ~ Binomial( n, p )

30 Intervalo de Confiança para proporção p IC para p Z -- ++ 0 z-z 30

31 Intervalos de Confiança (Resumo) para  se  2 é conhecida se  2 é desconhecida para  2 para p 31

32 Intervalos de Confiança (Resumo) Observações importantes: Os ICs são construídos a partir de uma estatística que relaciona o estimador pontual ao seu parâmetro; Para se conseguir ICs mais estreitos, conservando-se o mesmo nível de confiança, deve-se aumentar o tamanho da amostra; Caso o IC seja utilizado para verificar se o parâmetro para o qual o IC foi construído tem um determinado valor, deve-se aceitar qualquer valor presente dentro do intervalo, considerando o nível de confiança adotado; Ex: se o IC para  for P(20,3 <  < 43,8) = 95%  pode ser 30?  pode ser 21?  pode ser 45? SIM* SIM NÃO considerando 95% de confiança *“não se pode afirmar que a verdadeira média  não seja 30” ou “não se pode negar que ela seja 30” 32