Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Inferência Estatística Camilo Daleles Rennó

Apresentação em tema: "Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Inferência Estatística Camilo Daleles Rennó"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Inferência Estatística Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

2 Inferência Estatística DISTRIBUIÇÃO CONHECIDA PARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S) Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X ? Quais os valores possíveis de X ? X: {0, 1, 2, 3} Qual a distribuição de probabilidade de X ? Binomial Quais os parâmetros que definem uma Binomial? n e p n = 3 p = ? 2

3 Inferência Estatística Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150? Quais os valores possíveis de X ? X: {0, 1,..., 255} (considerando uma imagem 8 bits) Qual a distribuição de probabilidade de X ? Desconhecida (discreta) Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição? ??????? DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA 3

4 Inferência Estatística S amostra inferir certas características da população distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos n elementos (ou objetos) da população ex: sortear n pixels de uma imagem (com ou sem reposição) n realizações da v.a. ex: medir a reflectância de um objeto n vezes  a amostra constitui um conjunto de n v.a. X 1, X 2,..., X n com mesma distribuição (desconhecida)  Amostra Aleatória 4

5 Estimação de Parâmetros População Amostra Distribuição de Probabilidade (ou FDP) Parâmetros Distribuição Amostral (Frequências) Estatísticas (valor fixo) estimar (variável aleatória) pontual (estatísticas) por intervalo (intervalos de confiança) Estimação OBS:estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimador estimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica 5

6 método dos momentos método da máxima verossimilhança Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. 6

7 Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? é o k -ésimo estimador de  Qual é o melhor estimador pontual? não tendencioso variância mínima Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. Exato Impreciso Inexato Preciso Tiro ao alvo Suponha que seja possível produzir k diferentes estimadores para , sendo 7 (exatidão) (precisão)

8 Estimação Pontual média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? dados agrupados Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média amostral 8

9 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? verificando a tendenciosidade de estimador não tendencioso 9

10 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? calculando a variância de 10 Se as amostras forem independentes, ou seja, se elas não guardarem nenhuma relação entre si.  2 +  2 +... +  2

11 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. média populacional  De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  ? 11 Quanto maior o tamanho da amostra ( n ), mais precisa será a estimativa de 

12 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? Mas será um estimador tendencioso? 12

13 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 13

14 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 14

15 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? 15

16 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? estimador tendencioso! 16

17 Estimação Pontual Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média (  ) e a variância (  2 ) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar  e  2. variância populacional  2 De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de  2 ? estimador não tendencioso (ver Estimadores.xls) variância amostral 17

18 Estimação Pontual de  e  2 média amostral Valor Freq. Absoluta Freq. Relativa 011/12 121/6 241/3 331/4 411/12 51 Total 121 Exemplo: uma amostra ( n = 12 ) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais. distribuição amostral (usando FA) (usando FR) (dados brutos) (dados agrupados) 18

19 (dados agrupados) Estimação Pontual de  e  2 variância amostral s 2 Exemplo: uma amostra ( n = 12 ) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais. Valor Freq. Absoluta Freq. Relativa 011/12 121/6 241/3 331/4 411/12 51 Total 121 distribuição amostral (dados brutos) 19

20 Estimação Pontual de  e  2 Observações:  e  2 são parâmetros que representam a população e portanto são valores fixos sendo, em geral, desconhecidos e s 2 são estatísticas calculadas a partir da amostra e representam variáveis aleatórias (cada conjunto de amostras pode apresentar um valor diferente) Não confunda variância amostral ( s 2 ) com variância da média amostral ( Var( ) ) 20 De modo geral, as amostras devem ser obtidas de modo independente uma das outras, ou seja, o valor de uma amostra não deve ter relação com o(s) valor(es) das outras amostras (exceção em estudos de séries temporais, onde estuda-se exatamente esta relação)

21 Utilização de amostras não independentes 21 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 área de sobreposição

22 Utilização de amostras não independentes 22 T1T1 T2T2 T3T3 T4T4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X i : valor que representa a resposta do sensor no tempo T i (  elemento de resolução) Note que estes valores não são independentes (devido a sobreposição) Resolução Espacial  Tamanho do Pixel

23 Utilização de amostras não independentes 23 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 3,2

24 Utilização de amostras não independentes 24 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,3 5,9 2,5 3,2 5,3 2,8 6 9,2 6,3 5,3 6,2 2,2 6,5 7,6 5,7 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 5

25 Utilização de amostras não independentes 25 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,3 5,9 2,5 3,2 5,3 2,8 6 9,2 6,3 5,3 6,2 2,2 6,5 7,6 5,7 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer 9

26 Utilização de amostras não independentes 26 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64,67 666 9,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

27 Utilização de amostras não independentes 27 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64,67 666 9,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

28 Utilização de amostras não independentes 28 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64,67 666 9,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer

29 s2s2 X5,536,84 Utilização de amostras não independentes 29 X 9 6 2 3 6 2 6 10 6 5 7 1 7 8 5 8,37,66,67 5,95,85,67 2,533,67 3,23,43,67 5,34,63,67 2,83,64,67 666 9,28,47,33 6,36,67 5,35,66 6,25,44,33 2,23,45 6,565,33 7,67,26,67 5,76,47,33 X representa um conjunto de amostras independentes de uma v.a. qualquer Conclusão: a utilização de amostras não independentes (autocorrelacionadas) afetam mais a estimação da variância do que a estimação da média s2s2 X5,536,84 5,53 s2s2 X 6,84 5,534,36 5,532,70 5,531,76