Tema de álgebra indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio e seu ensino Prof. M. Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Fevereiro.

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1 Tema de álgebra indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio e seu ensino
Prof. M. Sc. Fabricio Eduardo Ferreira Fevereiro / 2016

2 Como os alunos entendem Álgebra?
“O ensino da Álgebra comumente conhecida como um amontoado de símbolos tem sofrido um abandono e vem perdendo espaço no Ensino Básico. Esse contexto demanda estudos sobre visões, dimensões e concepções deste campo da Matemática, pois posições pouco ancoradas podem gerar maiores lacunas no ensino-aprendizagem dos alunos em qualquer nível”. (SILVA, 2006)

3 Os Blocos de Conteúdos nos P.C.N.s (BRASIL, 1997, 1998)
Espaço e Forma Grandezas e Medidas Tratamento de Informação Números e Operações “Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando situações problemas, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra.” (BRASIL, 1997) “Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do Ensino Fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas.” (BRASIL, 1998)

4 Os P.C.N.s e as Áreas de Conhecimento no Ensino Médio
“A reforma curricular no Ensino Médio estabelece a divisão do conhecimento escolar em áreas, uma vez que entende os conhecimentos cada vez mais imbricados aos conhecedores, seja no campo técnico-científico, seja no âmbito do cotidiano da vida escolar”. (BRASIL, 2000) Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Ciências da Natureza, Matemática e Ciências Humanas e

5 Temas estruturadores do
ensino de Matemática Tema 1 Álgebra: números e funções Para o desenvolvimento desse eixo, são propostas duas unidades temáticas: variação de grandezas e trigonometria. “Um conjunto de temas que possibilitam o desenvolvimento das competências almejadas com relevância científica e cultural e com uma articulação lógica das ideias e conteúdos matemáticos pode ser sistematizado nos três seguintes eixos ou temas estruturadores, desenvolvidos nas três séries do ensino médio:” (BRASIL, 2007) Unidades temáticas 1. Variação de grandezas Noção de função; Funções analíticas e não-analíticas; Representação e análise gráfica; Sequências numéricas; Progressões e noção de infinito; Variações exponenciais ou logarítmicas; Funções seno, cosseno e tangente; Álgebra: números e funções Geometria e medidas Análise de dados 2. Trigonometria Trigonometria do triângulo retângulo; Trigonometria do triângulo qualquer; Trigonometria da primeira volta.

6 Matriz de Referência para o ENEM
Competência 1 Construir significados para os números Competência 2 Utilizar o conhecimento geométrico Competência 3 Construir noções de grandezas e medidas Competência 4 Construir noções de variação de grandezas Competência 5 Resolver problemas usando representações algébricas Competência 6 Interpretar informações obtidas com a leitura de gráficos Matriz de Referência para o ENEM Matemática e suas Tecnologias (BRASIL, 2012) H19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas H20 – Interpretar gráficos cartesiano que represente relações entre grandezas H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos

7 Recomendações iniciais sobre Álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
“O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas”. (BRASIL, 1998) “O enfoque da atividade algébrica centrada no cálculo das letras e conteúdos faz parte de uma visão letrista de educação algébrica, que parte da sequência utilizada na educação da Aritmética de técnica(algoritmo) / prática(exercícios). Apesar desse enforque ser dominante no Brasil e em outros países, este modelo tem se mostrado ineficaz a aprendizagem da Álgebra”. (LINS e GIMENEZ, 1997, p ) “[...] Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as ‘manipulações’ com expressões e equações de uma forma meramente mecânica”. (BRASIL, 1998)

8 Concepções algébricas no ensino de Álgebra na Educação Básica (PINTO, 1999)
A Álgebra é um meio para resolver problemas matemáticos (equações). Á Álgebra é uma forma de generalização da aritmética. A Álgebra é o estudo das relações entre grandezas matemáticas (funções). A Álgebra é uma expressão de estruturas matemáticas. “Existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra”. (BRASIL, 1998)

9 Álgebra nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 116)
Dimensões da Álgebra Uso das letras Conteúdos (conceitos e procedimentos) Aritmética Generalizada Letras como generalizações do modelo aritmético Procedimentos das operações generalizações de padrões aritméticos Funcional Letras como variáveis para expressar relações e funções Variação de grandezas Equações Letras como incógnitas Resolução de equações Estrutural Letras como símbolo abstrato Cálculo algébricos, obtenção de expressões equivalentes

10 Exemplos de exercícios sobre Álgebra contidos nos P.C.N.s
“É interessante também propor situações em que os alunos possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a linguagem simbólica para descrevê-los simbolicamente. Esse trabalho favorece que o aluno construa a ideia de Álgebra como linguagem para expressar regularidades”. (BRASIL, 1998, p. 117) Exemplo 1 Posição 𝟏º 𝟐º 𝟑º 𝟒º 𝟓º 𝒏 Nº quadradinhos 1 2+1=3 3+2=5 4+3=7 5+4=9 𝑛+𝑛−1 Exemplo 2 “Neste exemplo, o professor pode encaminhar a atividade para que os alunos encontrem a expressão 𝑛 2 −𝑛 que determina o número de quadradinhos brancos da n-ésima figura (ao se retirar 𝑛 quadradinhos pretos do total de 𝑛 2 de quadradinhos)”. (BRASIL, 1998, p. 117) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒

11 “Para esse exemplo, pode propor questões do tipo: ‘qual é o preço de custo de uma mercadoria que tem o preço de venda R$ 11,20?’” (BRASIL, 1998, p. 119) Um exemplo envolvendo aritmética generalizada, álgebra estrutural e funcional “O dono de um grande estabelecimento concluiu que o preço de uma determinada linha de produtos deveria ser vendida a varejo com um valor majorado em 40% sobre o de custo para que a margem de lucro fosse significativa” (BRASIL, 1998, p. 119) (Álgebra Funcional) “A situação-problema poderá favorecer o desenvolvimento de um trabalho que visa à simplificação de expressões algébricas. (...) Para simplificar a expressão eles se defrontarão com a propriedade distributiva: 𝑃+0,4𝑃= 1+0,4 𝑃=1,4𝑃” (BRASIL, 1998, p. 120) Produto 𝑃: preço de custo (R$) 𝑉: preço de venda (R$) I 2,80 2,80+2,80×0,40=3,92 II 5,00 5,00+5,00×0,40=7,00 III 8,25 8,25+8,25×0,40=11,55 IV 9,45 9,45+9,45×0,40=13,23 V 10,00 10,00+10,00×0,40=14,00 ⋯ 𝑃 𝑃+𝑃×0,40 (Álgebra Estrutural)

12 Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2016)
Trata-se de um documento onde estarão previstos todos os conhecimentos essenciais aos quais todos os estudantes brasileiros têm o direito de ter acesso e se apropriar durante sua trajetória na Educação Básica. Sua base legal está prevista no Art. 210 da Constituição Federal (1988), no artigo 26 da Lei das Diretrizes e Bases da Educação Nacional (1996), nas Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (2010) e no Plano Nacional de Educação (2015). Álgebra e Funções Grandezas e Medidas Estatística e Probabilidade Números e Operações Geometria MTMT1MOA019 Compreender função como um tipo de relação de dependência entre duas variáveis, ideias de domínio e de imagem, associando-as a representações gráfica e/ou algébrica. MTMT2MOA014 Resolver problemas que envolvam sistemas de três equações de primeiro grau e três incógnitas (por substituição e escalonamento).

13 Fonte: http://funcionamatematic.blogspot.com.br
Considerações Finais “As atividades algébricas propostas no ensino fundamental [e médio] devem possibilitar que os alunos construam seu conhecimento a partir de situações-problema que confiram significados à linguagem, aos conceitos e procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações das letras”. (BRASIL, 1998, p. 122) Fonte: “Resumidamente, em relação às competências a serem desenvolvidas pela Matemática, a abordagem proposta para esse tema [Álgebra] permite o aluno usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transformações, buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte de nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento matemático”. (BRASIL, 2007, p. 122) Fonte:

14 Referências (I) BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF, 1997. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (5ª a 8ª série). Brasília: MEC / SEF, 1998. BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Brasília: MEC, 2000. BRASIL, Matriz de Referência ENEM. Brasília: Inep. Disponível em < ia_enem.pdf> Acessado em 28 de Dezembro de 2015. BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 2007. BRASIL. Base Comum Nacional Curricular. Disponível em: < Acessado em 02 de Fevereiro de 2016.

15 Referências (II) LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus, – Coleção Perspectiva em Educação Matemática. Pedagogia: Cotidiano Escolar. Disponível em < Acessado em 28 de Dezembro de 2015. PINTO, Antônio Henrique. As concepções de álgebra e educação algébrica dos professores de matemática. Vitória, f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Federal do Espírito Santo, 1999. SILVA, Maria Helena da. Estudos das visões sobre álgebra presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental em relação a Números e Operações. Dissertação de Mestrado. São Paulo. PUC/SP, 2006.