POLINÔMIOS. Polinômio ou função polinomial na variável complexa x é toda função P: ℂ → ℂ definida por P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 +...

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1 POLINÔMIOS

2 Polinômio ou função polinomial na variável complexa x é toda função P: ℂ → ℂ definida por P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, para todo x  ℂ, sendo n  ℕ e a n, a n–1,..., a 2, a 1, a 0 números complexos. Função polinomial ou polinômio

3 Elementos de um polinômio Pode ser chamado apenas de polinômio P coeficientes termo independente termos

4 Exemplos a) P(x) = 5x 4 – 2x 3 + 2i ∙ x 2 + 3  Coeficientes: 5, –2, 2i, 3 b) Q(x) = – x 5 + 2x 3 – 4i = – x 5 + 0x 4 + 2x 3 + 0x 2 + 0x – 4i  Coeficientes: –1, 0, 2, 0, 0, – 4i c) Q(x) = –13 e R(x) = 5i são formados por apenas um número complexo (polinômio constante). termo independente

5 Polinômio identicamente nulo Um polinômio P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 é nulo, ou identicamente nulo, quando todos os seus coeficientes são iguais a zero, ou seja: a n = a n–1 = a n–2 =... = a 1 = a 0 = 0

6 Exemplo Vamos calcular os valores dos números complexos a, b e c para que o polinômio P(x) = ax 5 – (b + 3)x 4 + (c + 5i)x 3 + [(b – 2) ∙ i – c]x 2 + ai seja nulo. Para isso ocorrer, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Assim:  a = 0  –(b + 3) = 0 ⇒ – b – 3 = 0 ⇒ b = – 3  c + 5i = 0 ⇒ c = – 5i  (b – 2) ∙ i – c = 0 ⇒ – 5i – c = 0 ⇒ c = – 5i  ai = 0 ⇒ a = 0 Portanto, P(x) será nulo para: a = 0, b = – 3 e c = – 5i

7 Grau de um polinômio O grau de: P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 é o maior expoente da variável x entre os termos (monômios) com coeficiente diferente de zero. Observe que:  Se a n ≠ 0, o grau de P(x) é n. Indicamos: gr (P) = n  Se P(x) é um polinômio constante, seu grau é zero.  Não se define grau de polinômio nulo.  O coeficiente do termo que determina o grau de um polinômio é chamado coeficiente dominante.

8 Exemplos a)P(x) = 5x 4 + 2i ∙ x 2 tem grau 4. b) P(x) = 0x 3 + 2x – 3 tem grau 1. c) P(x) = –3i tem grau 0. (polinômio constante) d) P(x) = 0 não tem grau definido. (Não se define grau para polinômio nulo.)

9 Sendo o polinômio P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 +... + a 1 x + a 0, concluímos que o valor numérico de P(x) para x = z é: P(z) = a n z n + a n–1 z n–1 + a n–2 z n–2 +... + a 1 z + a 0 Valor numérico Exemplos a) Dado um polinômio P(x) = – 3x 3 – 5x 2 + 4x – 2, vamos calcular P(1). Para isso, substituímos x por 1 na expressão que fornece P(x): P(1) = – 3 ∙ (1) 3 – 5 ∙ (1) 2 + 4 ∙ (1) – 2 = – 3 – 5 + 4 – 2 = –6 Observe que P(1) equivale à soma algébrica dos coeficientes de P(x).

10 Exemplos b) Dado um polinômio P(x) = 2x 4 + bx 3 – x 2 + 3, vamos encontrar o valor de b para que: P(2) = 2i + 1 Primeiro, substituímos x por 2 na expressão do polinômio P(x): P(2) = 2 ∙ (2) 4 + b ∙ (2) 3 – (2) 2 + 3 = 8b + 31 Agora, igualamos o valor encontrado com 2i + 1: 8b + 31 = 2i + 1 ⇒ 8b = 2i – 30 ⇒ b = Portanto: b =

11 Raiz de um polinômio Quando P(z) = 0, dizemos que o número complexo z é raiz do polinômio P(x). Exemplo Vamos encontrar o valor de b em P(x) = 2x 3 – bx 2 + x – 2, para que – 2i seja raiz desse polinômio. Para que – 2i seja raiz de P(x), devemos ter: P(– 2i) = 0 Assim, substituímos x por – 2i na expressão que fornece P(x): P(– 2i) = 2 ∙ (– 2i) 3 – b(– 2i) 2 + (– 2i) – 2 = 0 ⇒ ⇒ 14i – 2 + 4b = 0 ⇒ 4b = 2 – 14i ⇒ b = i Portanto: b = i

12 1. Determinar o polinômio P(x) do 1 o grau para que P(8) = 13 e P(2) = 1. Resolução Se P(x) é um polinômio do 1 o grau, ele é do tipo P(x) = ax + b, com a ≠ 0. Assim:  P(8) = 13 ⇒ a ∙ (8) + b = 13 ⇒ 8a + b = 13  P(2) = 1 ⇒ a ∙ (2) + b = 1 ⇒ 2a + b = 1 Exemplos Então, obtemos o sistema: 8a + b = 13 2a + b = 1 Resolvendo o sistema, obtemos: a = 2 e b = –3 Logo: P(x) = 2x – 3

13 2. Sendo P(x) = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0, calcular a e b, sabendo que 2 e – 1 são raízes de P e que P(0) = – 2. Resolução Como P(0) = – 2, temos: a ∙ 0 2 + b ∙ 0 + c = –2 ⇒ c = – 2 Sendo 2 e – 1 raízes de P, temos: P(2) = P(1) = 0 Assim:  a ∙ (2) 2 + b ∙ (2) + c = 0 ⇒ 4a + 2b + c = 0  a ∙ (–1) 2 + b ∙ (–1) + c = 0 ⇒ a – b + c = 0 Exemplos Substituindo c por –2 nas equações, obtemos o sistema: 4a + 2b = 2 a – b = 2 Resolvendo esse sistema, obtemos: a = 1 e b = – 1

14 P = Q ⇔ P(x) = Q(x), para ∀x  ℂ Igualdade de polinômios Para que dois polinômios P(x) e Q(x) sejam iguais, é necessário, e suficiente, que os coeficientes correspondentes de P(x) e Q(x) sejam iguais. Exemplo P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Q(x) = 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 P(x) = Q(x)  ax 3 + bx 2 + cx + d = 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 a = 4, b = 3, c = 2, d = 1

15 3. Determinar os valores de a, b, c, d, e, f, de modo que os polinômios P(x) = –x 5 + 2x 3 + (d + 2)x 2 – i ∙ x + 2 e Q(x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 – x 2 + ex + f sejam iguais. Resolução Para que os polinômios P e Q sejam iguais, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos:  a = –1  b = 0 Portanto: a = –1, b = 0, c = 2, d = –3, e = –i, f = 2  c = 2  –1 = d + 2 ⇒ d = –3  e = –i  f = 2 Exemplos

16 4. Determinar p, q e r para que o polinômio F(x) = (p + q)x 2 + + (p – q)x + p + q – 2r seja igual a H(x) = 5x – 6. Resolução Para que F(x) = H(x), devemos ter: p + q = 0, p – q = 5 e p + q – 2r = –6 Resolvendo o sistema, obtemos: p = e q = – Substituindo os valores de p e q em p + q – 2r = –6, temos: p + q – 2r = –6 ⇒ – – 2r = –6 ⇒ r = 3 Portanto: p =, q = –, r = 3 Exemplos

17 Dados dois polinômios, P(x) e Q(x), obtemos:  a soma dos polinômios P(x) e Q(x) adicionando os coeficientes dos termos correspondentes de P(x) e Q(x); Sejam P(x) e Q(x) polinômios não nulos de graus m e n, respectivamente, com m ≥ n:  se m ≠ n: gr(P + Q) = gr(P – Q) = m  se m = n: gr(P + Q)  m e gr(P – Q)  m, ou o polinômio resultante é nulo.  a diferença entre os polinômios P(x) e Q(x) fazendo a adição do primeiro polinômio com o oposto do segundo, ou seja: P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)] Adição e subtração de polinômios

18 Exemplos a) Dados P(x) = 7x 3 – 2x 2 – 8x + 3 e F(x) = 3x 3 + 12x + 6, vamos obter o polinômio A(x) = P(x) + F(x): A(x) = P(x) + F(x) ⇒ A(x) = (7x 3 – 2x 2 – 8x + 3) + (3x 3 + 12x + 6) ⇒ ⇒ A(x) = 7x 3 – 2x 2 – 8x + 3 + 3x 3 + 12x + 6 ⇒ ⇒ A(x) = 10x 3 – 2x 2 + 4x + 9 b) Dados P(x) = 3x 4 + x 3 – ix 2 – x + 1 e Q(x) = –x 4 + 2x 3 + x, vamos obter o polinômio B(x) = P(x) – Q(x): B(x) = P(x) – Q(x) B(x) = (3x 4 + x 3 – ix 2 – x + 1) + [–(–x 4 + 2x 3 + x)] B(x) = 3x 4 + x 3 – ix 2 – x + 1 + x 4 – 2x 3 – x B(x) = 4x 4 – x 3 – ix 2 + (– –1)x + 1

19 Multiplicação de polinômios  Para obter o produto de dois polinômios, P(x) e Q(x), multiplicamos cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e reduzimos os termos semelhantes.  Se dois polinômios P(x) e Q(x) não nulos têm grau m e n, respectivamente, então: gr(PQ) = m + n

20 Exemplo Dados os polinômios A(x) = x 2 + 2x e B(x) = x + 4, vamos obter os polinômios C(x) = A(x) ∙ B(x) e D(x) = [A(x)] 3 : a) C(x) = A(x) ∙ B(x) ⇒ C(x) = (x 2 + 2x) ∙ (x + 4) C(x) = x 3 + 4x 2 + 2x 2 + 8x ⇒ C(x) = x 3 + 6x 2 + 8x b) D(x) = [A(x)] 3 = A(x) ∙ A(x) ∙ A(x) D(x) = (x 2 + 2x) ∙ (x 2 + 2x) ∙ (x 2 + 2x) D(x) = (x 4 + 4x 3 + 4x 2 ) ∙ (x 2 + 2x) D(x) = x 6 + 2x 5 + 4x 5 + 8x 4 + 4x 4 + 8x 3 D(x) = x 6 + 6x 5 + 12x 4 + 8x 3

21 Exercício 5. Dados F(x) = x 2 + 2x + i e G(x) = 2x 2 – x + 3, obter o polinômio A(x) = F(x) ∙ G(x). Resolução A(x) = (x 2 + 2x + i) ∙ (–x 2 – x + 3) A(x) = –x 4 – x 3 + 3x 2 – 2x 3 – 2x 2 + 6x – ix 2 – ix + 3i Portanto: A(x) = x 4 – 3x 3 + (1 – i)x 2 – 2x 3 + (6 – i)x 2 + 3i

22 Divisão de polinômios Vamos considerar dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Dividir P(x), que é o dividendo, por D(x), que é o divisor, significa determinar os polinômios Q(x) e R(x), quociente e resto, respectivamente, que satisfazem as duas condições:  P(x) = Q(x) ∙ D(x) + R(x) Observe que:  gr(Q) = gr(P) – gr(D);  o maior grau possível para R(x) é gr(D) – 1. Quando R(x) = 0, temos P(x) = Q(x) ∙ D(x) e dizemos que o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x).  gr(R) < gr(D) ou R(x) = 0

23 Divisão de polinômios: método da chave Vamos estudar passo a passo a divisão de P(x) = 8x 3 + 4x 2 + 1 por D(x) = 4x 2 + 1, usando o método da chave. 1 o ) Escrevemos dividendo e divisor seguindo a ordem decrescente das potências de x, completando-os, se necessário, com termos de coeficiente zero. 2 o ) Dividimos o termo de maior grau de P pelo termo de maior grau de D (8x 3 : 4x 2 ), obtendo o primeiro termo de Q, que é 2x. 8x 3 + 4x 2 + 0x + 1 4x 2 + 0x + 1 2x2x

24 4 o ) Dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor (4x 2 : 4x 2 ), obtendo o próximo termo do quociente (1). Repetimos o passo anterior para obter um novo resto parcial. 2x + 1 8x 3 + 4x 2 + 0x + 1 4x 2 + 0x + 1 –8x 3 – 0x 2 – 2x 4x 2 – 2x + 1 –4x 2 – 0x – 1 – 2x 3 o ) Multiplicamos o termo encontrado (2x) pelo divisor e subtraímos do dividendo o resultado obtido (8x 3 + 2x), chegando ao resto parcial (4x 2 – 2x + 1). 2x2x 8x 3 + 4x 2 + 0x + 1 4x 2 + 0x + 1 –8x 3 – 0x 2 – 2x 4x 2 – 2x + 1

25 5 o ) A divisão termina quando o grau do resto é menor que o grau do divisor (nesse caso, menor que 2) ou quando obtemos resto zero. 8x 3 + 4x 2 + 1 = (2x + 1)(4x 2 + 1) – 2x Q(x) = 2x + 1 e R(x) = –2x

26 Exercício 6. Determinar o quociente Q(x) da divisão de P(x) = x 3 + 3x 2 + 5x + 6 por D(x) = x + 2 pelo método da chave. Resolução Aplicando o método da chave, temos: x 3 + 3x 2 + 5x + 6 x + 2 –x 3 – 2x 2 x 2 + x + 3 x 2 + 5x + 6 –x 2 – 2x 3x + 6 –3x – 6 0 Portanto: Q(x) = x 2 + x + 3

27 Divisão de polinômios: método dos coeficientes a determinar (ou método de Descartes) Esse método consiste em obter os coeficientes dos polinômios quociente e divisor por meio da relação: P(x) = Q(x) ∙ D(x) + R(x) Exemplo Vamos obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = 6x 3 – 7x 2 + 2x + 5 por D(x) = 3x 2 – 5x + 3 Observe que: gr(Q) = gr(P) – gr(D) = 1 Assim, Q(x) é um polinômio do 1 o grau: Q(x) = ax + b, com a ≠ 0

28 Agora, neste caso, o resto é o polinômio nulo ou o polinômio de grau 1, pois o grau do divisor é 2. Logo: R(x) = cx + d Como P(x) = Q(x) ∙ D(x) + R(x), temos: 6x 3 – 7x 2 + 2x + 5 = (ax + b) ∙ (3x 2 – 5x + 3) + (cx + d) 6x 3 – 7x 2 + 2x + 5 = 3ax 3 – 5ax 2 + 3ax + 3bx 2 – 5bx + 3b + cx + d 6x 3 – 7x 2 + 2x + 5 = 3ax 3 + (–5a + 3b)x 2 + (3a – 5b + c)x + 3b + d Fazendo a correspondência entre os coeficientes dos polinômios, obtemos:  6 = 3a ⇒ a = 2  –7 = –5a + 3b ⇒ –7 = –5 ∙ 2 + 3b ⇒ b = 1  2 = 3a – 5b + c ⇒ 2 = 3 ∙ 2 – 5 ∙ 1 + c ⇒ c = 1  5 = 3b + d ⇒ d = 2  Como Q(x) = ax + b e R(x) = cx + d, temos: Q(x) = 2x + 1 e R(x) = x + 2

29 Exercício 7. Encontrar m e n para que 5ix 3 – x 2 – mx + n seja divisível por x 2 – x – i. Resolução  Como o dividendo é do 3 o grau e o divisor é do 2 o grau, o quociente é um polinômio do 1 o grau, ou seja: Q(x) = ax + b, com a ≠ 0  Para a divisão ser exata, o resto deve ser o polinômio nulo. Então: 5ix 3 – x 2 – mx + n = (ax + b)(x 2 – x – i) 5ix 3 – x 2 – mx + n = ax 3 + (–a + b)x 2 + (–ai – b)x – bi

30 Assim:  5i = a  –1 = –a + b  b = –1 + 5i  –m = –ai – b  m = (5i) ∙ i + (–1 + 5i) ⇒ m = –6 + 5i  n = –bi  n = –(–1 + 5i) ∙ i ⇒ n = 5 + i Portanto: m = –6 + 5i e n = 5 + i

31 Teorema do resto Dado um polinômio P(x) com grau maior ou igual a 1, o resto da divisão de P(x) por x – a é igual a P(a). Divisão por binômios do tipo (x – a) Exemplo Vamos obter o resto da divisão de P(x) = –4x 4 + x 2 – ix por (x – i), sem efetuar a operação. Pelo teorema do resto, sabemos que P(i) é o resto R dessa divisão. Então: P(i) = –4 ∙ i 4 + i 2 – i ∙ i, ou seja, P(i) = –4 Logo, o resto da divisão é: R = –4

32 Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, a é raiz de P(x), isto é, P(a) = 0. Divisão por binômios do tipo (x – a)

33 b) divisível por x Temos: x = x – 0 Se P é divisível por x, pelo teorema de D’Alembert, temos: P(0) = 0 ⇒ 0 + 2 ∙ 0 – c = 0 ⇒ c = 0 Portanto, se P(x) é divisível por x, o valor de c é zero. Exemplo Vamos determinar c para que P(x) = x 3 + 2x 2 – c seja: a) Divisível por x – 3 Pelo teorema de D’Alembert, temos: P(3) = 0 ⇒ 27 + 18 – c = 0 ⇒ c = 45 Logo, se P(x) é divisível por x - 3, o valor de c é 45.

34 Exercício 8. Encontrar o resto da divisão de F(x) = x 3 + 5x 2 + 2x – 2 por x + 3 Resolução Vamos expressar o binômio x + 3 na forma x – a e aplicar o teorema do resto. Para obter o resto da divisão, devemos encontrar F(–3), pois a = –3. Assim: F(–3) = (–3) 3 + 5 ∙ (–3) 2 + 2 ∙ (–3) – 2 = 10 O resto da divisão é 10.

35 9. Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 2 + 5x + 12 por D(x) = 3x – 12 Resolução Devemos procurar Q(x) e R(x) tal que P(x) = Q(x) ∙ D(x) + R(x), ou seja: x 2 + 5x + 12 = Q(x) ∙ (3x – 12) + R(x) Observe que: 3x – 12 = 3 ∙ (x – 4) Assim: x 2 + 5x + 12 = Q(x) ∙ 3 ∙ (x – 4) + R(x) x 2 + 5x + 12 = Q 1 (x) ∙ (x – 4) + R(x) Q1(x)Q1(x) Agora, basta dividir P(x) por (x – 4) e o quociente Q 1 (x) por 3 para obter o quociente Q(x). Note que o resto permanece o mesmo. Obtemos, assim: Q 1 (x) = x + 9 e R(x) = 48 Então: Q(x) = x + 3 e R(x) = 48 x 2 + 5x + 12 x – 4 –x 2 + 4x x + 9 9x + 12 –9x + 36 48