Cálculo Diferencial e Integral III

Apresentação em tema: "Cálculo Diferencial e Integral III"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Diferencial e Integral III
Aula 9 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

2 Objetivos Definir da Transformada de Laplace Conhecer a Tabela
Encontrar a Transformada Inversa Resolver Problema de Valor Inicial

3 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Eq. diferencial Linear Equação algébrica Solução da eq. diferencial Linear L-1 Solução da eq. algébrica

4 Definição: Seja f(t) uma função definida para todos os valores positivos de t e s um parâmetro real positivo. A transformada de Laplace da função f(t) é denotada e definida por:

5 A função F(s) é chamada de a Transformada de Laplace da função original f(t).
Ela é representada por L[f(t)] ou L {f(t)}. A função f(t) é chamada de a transformada inversa de F(s) é será representada por L-1(F) → f(t) = L-1 {F(s)}.

6 Veja que calcular a transformada de uma função f(t) significa resolver uma integral imprópria da função f(t) multiplicada por uma exponencial.

7 Exemplo usando a definição
Determine a Transformada de Laplace da função f(t)=1.

8 Cálculo da integral: Agora vamos calcular o limite

9 Cálculo do limite:

10 Tabela com algumas transformadas importantes

11 Como calcular a Transformada de Laplace utilizando a tabela?
1. Determine a Transformada de Laplace da função f(t) = 4t2 + 5t – 8. L {f(t)} = L{4t2} + L{5t} – L{8} L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8}

12 F(s) = L {f(t)} = L{4t2} + 5L{t} – L{8}

13 2. Determine a Transformada de Laplace da função
f(t) = 5cos2t + sen3t/4. L {f(t)} = 5L{cos2t} + 1/4L{sen3t}

14 3. Determine a Transformada de Laplace da função

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16 TRANSFORMADA INVERSA Veja! Já sabemos determinar a Transformada de Laplace de uma função, isto é, transformar uma função f(t) em outra função F(s). Agora vamos determinar a transformada inversa.

17 Vamos determinar a transformada inversa do seguinte modo: Dada a função F(s) encontraremos uma função f(t) tal que a Transformada de Laplace seja a função F(s).

18 Como calcular a Transformada inversa?
Notação: L-1 [F(s)] = f(t) Determine a Transformada inversa da função Vamos olhar na tabela a seguinte função:

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20 PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Seja a equação diferencial ay”(t) + by’(t) + cy(t) = f(t). Considere y(0) = α e y`(0) = β. Precisamos da Transformada da derivada para determinarmos a transformada da equação diferencial.

21 TRANSFORMADA DA DERIVADA
Definição: L[f`(t)] = s.L[f(t)] – f(0) L[f”(t)] = s2.L[f(t)] – s.f(0) – f`(0)

22 Vejamos um exemplo Resolver a equação diferencial através de Laplace.

23 Isolar na equação Y(s)

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25 Agora vamos determinar a transformada inversa da função Y(s).

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28 Fundamentos de Análise
Atividade Prof(a): Ana Lucia de Sousa

29 Determine a Transformada inversa da função
Vamos usar o método das funções racionais por frações parciais!

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