O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade

Apresentação em tema: "O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade"— Transcrição da apresentação:

1 O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade
Congresso de Métodos Computacionais em Engenharia Laboratório Nacional de Engenharia Civil Lisboa, 31 de Maio - 2 de Junho, 2004 O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade em cones de segunda ordem Y. Kanno1, J.A.C. Martins2 e A. Pinto da Costa2* 1Universidade de Quioto Departamento de Engenharia Urbana e Ambiental Quioto, Japão 2Instituto Superior Técnico Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura e ICIST Lisboa, Portugal

2 Evoluções quase-estáticas em sistemas de contacto com atrito
SUMÁRIO Evoluções quase-estáticas em sistemas de contacto com atrito O problema quase-estático incremental Atrito de Coulomb em 3D em termos de uma condição de complementaridade em cones de segunda ordem O problema incremental em 3D em termos de um SOCLCP Exemplos numéricos

3 EVOLUÇÕES QUASE-ESTÁTICAS
Evolução temporal dos deslocamentos u(t) e das reacções de contacto r(t) para uma dada variação temporal das forças exteriores, aplicadas tão lentamente que as forças de inércia se podem desprezar. C F o b s t á c u l o n t Condições de contacto e atrito Condições iniciais admissíveis:

4 CONDIÇÕES DE CONTACTO E DE ATRITO
obstáculo m 1 vt rt rn rt vt t1 t2 mrn (n) vt = {0} Atrito: mrn  ||rt|| e rt.vt + mrn ||vt|| = 0 Contacto unilateral: un  0, rn  0, unrn = 0

5 Calcular o incremento (Du, Dr) do estado (u, r)
O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL u r (u,r) (Du, Dr) Calcular o incremento (Du, Dr) do estado (u, r) para dado incremento DF das forças exteriores F Substituição das derivadas presentes no problema de evolução (i.e. na lei de atrito de Coulomb) por razões incrementais

6 O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL
Equação de equilíbrio de um estado de equilíbrio (u0, r0) conhecido correspondente a forças exteriores f0: Ku0 = f0 + r0 Forma incremental das equações de equilíbrio: KDu = Df + Dr K = KF,F KC,F KF,C KC,C Du = DuF DuC Df = DfF DfC Dr = DrC Equações de equilíbrio condensadas no contacto: KDuC = f + rC   K = KC,C - KC,FKF,FKF,C -1

7 Ln = {x = {x0, x1}  Rn: x0  ||x1||}
CONES DE SEGUNDA ORDEM Ln = {x = {x0, x1}  Rn: x0  ||x1||} + x1 x0 45o n = 3 n = 2 n = 1 o x1 = x1 x1 = Ø x1 = {x11, x12} L1  R1 + L2 L3

8 ATRITO 3D EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM
mrn  ||rt|| e rt.Dut + mrn ||Dut|| = 0  mrn  ||rt||, ln  ||Dut|| e (ln,Dut).(mrn,rt) = 0 L3 + Condição de complementaridade linear Cones de segunda ordem no espaço tridimensional L3 + é convexo fechado e auto-dual Uma variável extra (ln) por cada nó candidato ao contacto

9 EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM
CONTACTO UNILATERAL EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM Dun - g  0, rn  0 e (Dun - g). rn = 0 Condição de complementaridade linear L1 + Cones de segunda ordem no espaço unidimensional o Dun - g, rn L1 + é convexo fechado e auto-dual

10 LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM
SECOND-ORDER CONE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM Calcular (x, y)  R4n  R4n , tal que y = Mx + q x  KS, y  KS, xTy = 0 c SOCLCP: x = ln Dut1 Dut2 Dun y = mrn rt1 rt2 rn KS = produto cartesiano de cones de segunda ordem M = mKn,t1 Kt1,t1 Kt2,t1 Kn,t1 mKn,t2 Kt1,t2 Kt2,t2 Kn,t2 mKn,n Kt1,n Kt2,n Kn,n q = -m fn ft1 ft2 fn

11 ALGORITMO E ALGUNS FACTOS
S. Hayashi, N. Yamashita, M. Fukushima (2003) A combined smoothing and regularization method for monotone second-order cone complementarity problems, Technical Report , Dept. of Applied Mathematics and Physics, Kyoto University. Álgebra euclideana de Jordan em cones de segunda ordem Funções de suavização associadas a SOCCP’s Método de regularização que resolve uma sucessão de SOCLCP(e)’s com e  0+: ye = (M + e I)xe + q Operador monótono  convergência global Método de Newton Taxa de convergência quadrática

12 BARRA EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
0.01 MPa 0.05 MPa obstáculo

13 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
st/m sn 1 3 2 4

14 EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
5 7 6 8

15 TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS
f f/2 f/4 f = g 102.9 kN Incremento g

16 Deslocamentos incrementais
TRELIÇA 12  12 m = 0.12 Deslocamentos incrementais Deslocamentos totais 1 2 3 6 5 4

17 Formulação SOCLCP e algoritmo recente
COMENTÁRIOS FINAIS Formulação SOCLCP e algoritmo recente para o problema quase-estático incremental. Verdadeiro cone de atrito de Coulomb em 3D com formulação da Programação Matemática. Unificação da metodologia para 2D e 3D.

18 PARA POUPAR TEMPO DE COMPUTAÇÃO
FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO COMO UM PROBLEMA MISTO DE COMPLEMENTARIDADE LINEAR EM CONES DE SEGUNDA-ORDEM SOCMLCP: Find (x, y)  Rn +4n  Rn +4n , such that y = Mx + q c x  Rn  KS, y  Rn  KS, xTy = 0 f KS = produto cartesiano de cones de segunda ordem