CF368 Eletromagnetismo I Prof. Dante Mosca

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1 CF368 Eletromagnetismo I Prof. Dante Mosca
Aulas adaptadas do livro Foundations of Eletromagnetic Theory (4th Ed.) Reitz-Milford-Christy Aulas em

2 Plano de Ensino Eletrostática:
Lei de Coulomb; Campo elétrico; Potencial eletrostático; Lei de Gauss; Expansão de campos elétricos em multipolos; Soluções para problemas eletrostáticos; Equação de Poisson; Equação de Laplace; Campo eletrostático em meios dielétricos; Teoria microscópica de dielétricos; Energia eletrostática; Capacitores. Magnetostática: Corrente elétrica, Equação da continuidade; Lei de Ohm; Correntes estacionárias em meios contínuos; Teoria microscópica da condução.Campo magnético; Campos atuantes sobre condutores de corrente elétrica; Lei de Biot-Savart; Lei de Ampère; Potencial vetorial magnético; Energia magnética, Propriedades magnéticas da matéria. Equações de Maxwell: Lei de Faraday, Lei de Ampère generalizada; Corrente de deslocamento; Densidade de energia em circuitos, Formulação diferencial das equações de Maxwell; Equações de Maxwell em meios materiais; Potencial vetor e potencial escalar.

3 Elétrons em um átomo ... R Energia

4 Elétrons em uma rede cristalina
cristal de Na elétrons de condução quase livres elétrons ligados aos sítios iônicos

5 Classificação do Sólidos
Ar KCl Diamante K

6 Bandas de energia

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8 É, portanto, oposta ao fluxo dos elétrons.
Corrente elétrica É o fluxo de cargas elétricas efetivo através de uma superfície, sendo convencionado que o sentido da corrente é o mesmo que o do fluxo das cargas elétricas positivas. É, portanto, oposta ao fluxo dos elétrons. A corrente elétrica média é o fluxo de carga elétrica efetivo total através da área por unidade de tempo. A corrente elétrica instantânea é o limite diferencial da corrente elétrica média. Unidade no SI : Ampère

9 Condutor uniforme e ôhmico

10 Resistência elétrica Unidade no SI : Ohm
Definindo a resistividade elétrica (descrição microscópica):

11 Physics for Scientists and Engineers (6th Edition), Serway and Jewett
metais semicondutores isolantes Physics for Scientists and Engineers (6th Edition), Serway and Jewett

12 Densidade de corrente elétrica e mobilidade
Uma vez que Escrevemos Densidade de corrente (através de uma dada área): Definindo a condutividade elétrica de mateiais chamados ôhmicos: Definindo a mobilidade elétrica :

13 Velocidade de deriva ou de arraste
As trajetórias eletrônicas em zig-zag sob a ação da aceleração do campo elétrico externo aplicado em meio aos espalhamentos na escala atômica.

14 Quantos elétrons de condução existem?
Número de elétrons de condução da amostra Número de átomos da amostra valência por átomo ( )=( )( ) Concentração de portadores: número de elétrons de condução na amostra Volume da amostra, V n = ( ) = = Número de átomos da amostra Massa da amostra, Mam massa atômica Massa da amostra, Mam (massa molar M)/NA = (massa específica do material)(volume da amostra, V) (massa molar M)/NA NA = 6,02 x 1023 mol-1

15 Type: Transition Metal Atomic weight: 63.546
Name: Copper Symbol: Cu Type: Transition Metal Atomic weight: 293 K: 8.96 g/cm3 Atomic volume: 7.1 cm3/mol Discovered: Copper has been known since ancient times and has been used by people for over ten thousand years. The Copper Age sits between the Neothilic (Stone) and Bronze Ages. The Copper Age took place at different times in different cultures, when people began using copper tools alongside stone tools. The word copper is derived from the Latin word 'cuprum' meaning 'metal of Cyprus'. The Mediterranean island of Cyprus was an ancient source of mined copper.

16 Exercício: Cálculo da densidade de portadores de carga no cobre. Volume ocupado por 1 mol de cobre: Admitindo 1 elétron de valência com mobilidade por átomo de cobre: Tendo em vista os volumes estimados dos elétrons (<< m3) e dos núcleos atômicos ( ≥ m3) os elétrons de condução constituem um gás de muito baixa densidade.

17 Exercício Considere um fio de cobre com bitola 12 AWG (American Wire Gauge ) : percorrido por uma corrente de 10 A. Obtenha a velocidade de deriva. Diâmetro 2,0 mm Seção 3,31 mm Corrente máxima = 22 A

18 Modelo microscópico de Drude

19 J = v (convectiva) Impondo o regime estacionário dvdrift/dt = 0 :
Então Meio isotrópico, linear e estacionário: Obs: J = v (convectiva)

20 Equação da continuidade
Princípio de conservação da carga elétrica

21 Exercício: Análise da relaxação de um material homogêneo, isotrópico, linear e
isolado sob a ação de um campo elétrico subitamente acionado. Logo ∂ρ/∂t + () ρ = 0 ρ = ρo Exp [t]  Tempo de relaxação característico do material: Se  <<  não podemos usar a priori a relação J =  E.

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24 Magnetostática Ímã Solenóide

25 Corrente elétrica versus Campo magnético
bobina Eletroímã

26 força devido a pólos? Não!
Comparação entre Campos de Força Fenômeno Origem Campo Gravidade força devido à massa força por massa Eletricidade força devido à carga força por carga Magnetismo força devido a pólos? Não! força por pólo? Não!

27 Interação entre pólos magnéticos:
FM = (o/4)mm r2o4x 10-7 H/m Interação entre cargas elétricas: FE = (1/4o)qq r2o8.85x F/m Interação entre massas: FG = Gmm r2G6.67x Nm2/kg2 Interação entre nucleons: FN = gg r2a re-r/aa = h/mc

28 Monopolos magnéticos postulados por Dirac em 1931
Não foram encontrados na Natureza até hoje !

29 S N = m L Momento de dipolo magnético na matéria [ m ] = A m

30 Lei de Biot - Savart

31  Equivalentes de cargas em movimento : densidades de corrente
filiformes, superficiais e volumétricas 

32 Ex. : Carga puntiforme em movimento ( v << c)
q

33 Princípio da Superposição
Ex. Corrente filamentar em segmento ilimitado.

34 Ex. Corrente filamentar num segmento finito.

35 Ex.: Campo magnetostático num circuito poliginal :
(slide anterior)

36 Campo magnético no eixo do polígono quando :
Então Logo Ver problema 8.7 p. 215 do livro rexto.

37 Exercício: Compare os campos magnéticos no centro de espiras triângulares, quadradas, hexagonais e circulares. Admita que os perímetros são todos iguais a L. Ou seja, que é sempre usado um fio de comprimento L. Resp.: o campo magnético no centro de um circuito poligonal (z = 0).

38 Ex.: Espira circular (releitura!)

39 Exercício: Mostre que a força entre dois circuitos obedece a
Lei de Newton : Resp.: Como Ver problema 8.4 p. 215 do livro texto.

40 Existe, portanto, uma força atrativa entre as duas espiras paralelas.

41 Exercício: Obtenha o campo de um solenóide finito L = 2D.
Campo de uma espira (slide 20) número de espiras

42 Solenóide ilimitado :

43 No centro O :

44 Nas extremidades A1 e A2 :

45 Sobre o eixo em M1 :

46 Solenóide ilimitado Solenóide real (L = 2D )

47 Fluxo magnético

48 Fluxo magnético

49 Divergência nula de B implica na inexistência de
observação experimental de monopolos magnéticos: Teorema da divergência : Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :

50 Expressão integral para o Potencial Vetor A :
Verifique que : Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :

51 Analogia Se em Eletrostática temos : Então em Magnetostática temos :

52 Sendo Então Pois

53 Uma vez que x Magnetostática !!!

54 Lei de Ampère I I I3 Ex.: o( I1 +I2 +I 3 ) oI

55 Equações do Campo Magnetostático
Forma integral

56 Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo.
Fluxo sobre o cilíndro : Fluxo na superfície lateral Fluxo através da tampa de cima Fluxo através da tampa de baixo

57 Sobre o eixo (r = 0) temos :
Na vizinhança do eixo temos : Lembando que : ou seja a inclinação de B relativa ao eixo em M é:

58 Ex.: Sendo então

59 Ex.: Potencial vetor em torno de segmento filamentar com corrente elétrica I.

60 Ex.: Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos.
Sobre a linha mediatriz entre os fois :

61 Indutância Mútua entre dois circuitos de corrente

62 Equação de Neumann

63 Exerc.: Cálculo da indutância mútua entre dois solenóides coaxiais.

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65 uB dv Densidade de energia magnética
Força entre dois circuitos a e b em termos da densidade de energia magnética

66 Pressão magnética no interior de um longo solenóide (I constante)
B2 área

67 Momento dipolar magnético

68 Ex.: Momento de Dipolo Magnético Orbital
Analogia didática pictórica

69 Orbitais Atômicos

70 Orbitais 3d (l = 2) * sub-níveis : dxz, dyz, dxy, dx2-y2 e dz2.

71 Orbitais 4f (l = 3) * orbitais com as mais complexas distribuições radiais

72 Spin do elétron Em relação ao campo magnético atômico. Ver slide 66
Up & Down Em relação ao campo magnético atômico. Ver slide 66 Magnetismo dos Materiais

73 Momento de dipolo magnético
Campo magnético dipolar

74 Ex.: Dipolo magnético associado a uma espira plana.

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77 Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)

78 Ex.: Momento magnético dipolar (generalização!)
( )

79 Magnetização A magnetização é o momento de dipolo magnético por unidade de volume de um material. Didaticamente, é associada as correntes de magnetização ou correntes Amperianas. “pictórico”

80 Da relação vetorial :  x (f F) =  (f ) x F + f ( x F)
Do slide 73 Da relação vetorial :  x (f F) =  (f ) x F + f ( x F) Gauss-Ostrogradski ∫  X F dV = ∫ dA X F

81 Materiais magnetizados
Densidade de corrente de magnetização volumétrica : Densidade de corrente de magnetização superficial :

82 Indução Magnética B e Campo Magnético H

83 Definição do campo magnético H :
Equação constitutiva ou funcional : Em consequência

84 Lei de Ampère em presença de material magnético

85 Condições de contorno em interfaces com
materiais magnéticos

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88 Potencial Escalar Magnético
Na ausência de correntes elétrica X H = 0 ; então H = –m Em meios magnéticos lineares e homogêneos : B = (H+M) = H. Como •B = 0 então •H= •(–m) = –•M = m. Portanto, 2m = – m Obs.: Aplicando o teorema da divergência em ∫ m dV’ = – ∫ •M dV’ temos ∫ M • n dA’ associado a uma densidade superficial de carga magnética efetiva m = M • n

89 Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num
campo magnético uniforme. Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.

90 As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são :
As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e Br são contínuos. Em termos do potencial escalar magnético estas condições são: ( relativo)

91 Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as
constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se. Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações : As soluções para  e  são :

92 O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um
campo dipolar com um momento de dipolo  orientado paralelo a Bo. Dentro da cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à . Quando  >> 1, o momento de dipolo  e o campo interior  tornam-se : Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/e a blindagem magnética com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 103–106 se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.

93 B ~ 0

94 Ex.: Discontinuidade da intensidade de fluxo magnético.
Se •B = 0 e B = ( H + M ), então•( H + M ) = 0 e •H = -•M  0 Se M  0 em V e M  0 nas superfícies S1 e S2 , então temos:m•M  0 Algo equivalente a uma densidade de carga magnética efetiva, tal que :

95 Ex.: Barra uniformemente magnetizada.
Se •B = 0 e B = (H+M) Então•(H+M) = 0 e •H = -•M  0 ( M  0 na superfície ! ) Logo,m•M (densidade de carga magnética efetiva:) M = Mox ^ H m m

96 = o + B H M

97 Exercício: força sobre um dipolo magnético
Momento dipolar: Força exercida por um B externo sobre o dipolo: (1) Identidade vetorial: Expressão alternativa para eq. (1): (2)

98 Exercício: força sobre um dipolo magnético extenso
Densidades de correntes equivalentes : Densidades de cargas magnéticas equivalentes : Força magnética exercida sobre o dipolo (Força de Lorentz) : Discretização em elementos finitos :

99 Propriedades Magnéticas da Matéria

100 Magnetic Periodic Table

101 Magnetismo de átomos livres
As ligações químicas tendem a tornar todas as camadas e/ou sub-camadas eletrônicas completas, eliminando os spins « desemparelhados » !

102 Quantidades : B, H e M Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1 Susceptibilidade magnética Permeabilidade magnética Permeabilidade magnética relativa

103 Resposta magnética dos materiais
Diamagnéticos : materiais com todos os spins eletrônicos emparelhados. Paramagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados. Ferromagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados e acoplados via interação de troca quantum-mecânica.

104 Diamagnetismo

105 Elétrons em uma rede cristalina
cristal de Na elétrons de condução quase livres elétrons ligados aos sítios iônicos

106 horária vs. antihorária
Diamagnetismo de elétrons ligados O diamagnetismo orbital é causado por indução: Equacões de Faraday – Ampère ind eind módulo - rotações horária vs. antihorária o

107 Momento de dipolo magnético induzido pelo campo B sobre um
elétron é:  = - (e2r2/4me) B Admitindo um átomo com Z elétrons pertencentes a orbitais com raio médio R tal que : < x2 > = < y2 > = < z2 > = (1/3) < R2 > então < R2 > = < x2 + y2 > = (2/3) < r2 > Logo M = - N (Ze2 / 6me) <r2> B (repelidos por um ímã) onde N é o número de átomos por unidade de volume. Assim: dia = M/H = - oN (Ze2/6me) < r2 >

108 Diamagnetismo dos elétrons livres (Susceptibilidade de Landau)
 = M/H < 0 M é a magnetização do gás de N elétrons livres contidos no volume V.

109 Paramagnetismo

110 O paramagnetismo atômico está relacionado com o momento angular orbital L e o momento de spin S dos elétrons.

111 Material paramagnético
H para  H

112 Paramagnetismo de elétrons ligados

113 Função de Langevin

114 Lei de Curie para  10-3 T = 300 K = M/H = No para2/ 3kT = C / T
( descoberta por Pierre Curie em 1895 )

115 Ferromagnetismo

116 Interação dipolo-dipolo
EDD ~ B Bdip ~ 3 x 10-6 eV sendo R ~ 2.5 Å e  ~ 1 B então TC ~ 0,04 K !

117 Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico !
ver slide 65

118 Materiais Ferromagnéticos

119 Aplicação :  H . dl = I Lei de Ampère mu metal
(18%Fe, 75%Ni, 2%Cr, 5%Cu)

120 Aplicação numérica : Supondo R = 5 mm , w = 5 μm e NI = 5 Ampère-espiras (100 voltas x 50 mA)

121 Aplicação tecnológica
Magnetic recording tape or “Cabeçote indutivo de gravação magnética”

122 Domínios magnéticos e paredes de momínios magnéticos

123 Domínios magnéticos Minimização de energia magnética equivale a
redução de área/volume de pólos magnéticos, mas tem um custo de energia para formar as paredes de domínio !

124

125 Espessura de uma parede de Bloch
Supondo um leve desalinhamento no paralelismo entre pares de spins, uma parede de Bloch tem uma espessura mesoscópica.

126 M texturarizado isotrópico

127 Ímã permanente orientado isotrópico

128 Histerese Magnética Wh =  H.dB = 4 BrHC Br HC

129 O produto (BH)max é mais importante que a área do ciclo de histerese.
Br indica quanto forte é o ímã. HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã. (BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.

130 Imãs permanentes SmCo - Composto base SmCo5 (1:5 – 2:17)
densidade = 8,3 – 8,5 g/cm3 resistividade = ~ 8,6 x 10-5 cm alto custo do Co. NdFeB - Composto base Nd2Fe14B possui (BH)max = 64 MGOe (CGS) densidade = 7,4 – 7,7 g/cm3 resistividade = ~ 14,4 x 10-5 cm ótima razão custo/desempenho Ferrites – Compostos (Ba,Sr)Fe12O19 , Y3Fe5O12 , MnOFe2O3 densidade = 4,5 – 5,3 g/cm3 resistividade = ~104 cm AlNiCo – Liga de Al-Ni-Co (Co 35 at%) 130

131 Efeito do campo desmagnetizante
Ímãs permanentes possuem campos magnéticos no seu exterior que tendem a desmagnetizá-los pela criação de domínios magnéticos.

132 Densidade de energia magnetostática associada ao campo desmagnetizante
Fator desmagnetizante Nd : depende da geometria da amostra

133 B (T) location, event 1013 neutron star, theoretical upper limit 1010 - 1011 neutron star, magnetar 108 - 109 neutron star, radio pulsar 1000 highest laboratory field, ephemeral 100 white dwarf star 45 highest laboratory field, sustained 16 levitating frogs in an electromagnet 13 strongest superconding magnet 2.4 strongest permanent magnet 1 - 4 MRI 1 strong laboratory magnet 0.45 large sunspot 0.15 iron bar magnet, at poles 0.10 refrigerator magnet 400 × 10-06 jupiter 100 × 10-06 sun, surface mean 060 × 10-06 earth, poles

134 045 × 10-06 earth, surface mean 030 × 10-06 earth, equator 010 × 10-6 am radio broadcast at receiver 001 × 10-6 solar radiation on earth's surface 180 × 10-09 100 W light bulb at 1 m, peak 150 × 10-09 mercury, surface earth, altitude of geosynchronous orbit 050 × 10-09 earth, magnetosphere nose 035 × 10-09 moon, surface 005 × 10-09 sun, interplanetary space near earth 001 × 10-09 earth, magnetosphere tail 500 × 10-12 interstellar space 100 × 10-12 distant interplanetary space 050 × 10-12 human heart 100 × 10-15 human brain

135 Magnetismo no Sistema Solar
Planeta Terra Júpiter Saturno Urano Netuno Raio, km 6.378 71.500 60.300 25.600 24.800 rotação, horas 24 9,9 10,7 -17,2 16 Momento Magnético/Mearth 1 20 600 50 25 Campo equatorial, gauss 0.31 4.28 .22 0.23 0.14 Desvio dipolar e sentido +11.3° -9.6° 0° -59° -47° Dens. vento solar, cm-3 10 0.4 0.1 0.03 0.005 Distância do "nose", raio 11 50-100 16-22 18 23-26