Universidade Federal do Rio de Janeiro

Apresentação em tema: "Universidade Federal do Rio de Janeiro"— Transcrição da apresentação:

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE – Programa de Engenharia Química COQ 892 – CONTROLE AVANÇADO DE PROCESSOS AULA 1: Decomposição em valores e vetores singulares 2016/3

2 Decomposição em Valores e Vetores Singulares (SVD)
Qualquer matriz A  mn pode ser decomposta na forma: A = U    VH U  mm : matriz unitária formada pelos vetores característicos de A  AH . V  nn : matriz unitária formada pelos vetores característicos de AH  A   mn : matriz diagonal da raiz quadrada dos valores característicos de A  AH para m < n para n = m para m > n

3 Propriedades da matriz A:
rank(A) = r null(A) = span(vr+1, vr+2, ..., vn) range(A) = span(u1, u2, ..., ur) range(AH) = span(v1, v2, ..., vr) (norma de Frobenius)

4 A† = V  †  UH = (AH  A)-1  AH (pseudo-inversa de A )
A  vi = i ui AH  ui = i vi A† = V  †  UH = (AH  A)-1  AH (pseudo-inversa de A ) A†  A  A† = A† e A  A†  A = A . (A†  A)H = A†  A e (A  A†)H = A  A† Problema de valor singular para o sistema linear y = Ax: Usando o conceito dos multiplicadores de Lagrange:

5 Condição de otimalidade de primeira ordem:
Que é equivalente a solução do problema de valor característico: ótimos locais: vetores característicos de AH  A, ou vetores singulares de A ou ainda componentes principais de A (direções de máxima variação de y em função das variações de x com a mesma energia: e os respectivos multiplicadores de Lagrange são os valores característicos de AH  A ou o quadrado dos valores singulares de A.

6 Exemplo Fm = F1 + F2 F1 Th + F2 Tc = Fm Tm

7 Para determinar se o sistema linear, y = Ax, está bem escalonado deve-se verificar o condicionamento da matriz A: Condicionamento mínimo da matriz A: Variáveis escalonadas: ye = L  y e xe = R-1  x

8 No MATLAB, o condicionamento de uma matriz A pode ser obtido através da função cond(A), e as matrizes de escalonamento podem ser calculadas pela função: [ub, D] = mu (H, ones (2*n, 2), ‘C’) onde n é a ordem da matriz A, L = diag(D(n+1:2*n)), R = inv(diag(D(1:n))), = cond(L  A  R)

9 Exemplo