Experiências aleatórias

Apresentação em tema: "Experiências aleatórias"— Transcrição da apresentação:

1 Experiências aleatórias
Probabilidade Experiências aleatórias

2 Experiências aleatórias
Acontecimento: Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar: Um resultado que não pode ser simplificado ou reduzido. Espaço de resultados – Ω: Constituído por todos os acontecimentos elementares.

3 Probabilidade P - denota a probabilidade.
A, B, e C - denota acontecimentos específicos. P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.

4 Cálculo de probabilidades: conceito clássico
Suponha que uma experiência é composta por n acontecimentos elementares distintos, em que cada um tem a mesma chance de ocorrer. Se o acontecimento A pode ocorrer em k desses n acontecimentos elementares, então k nº de casos favoráveis a A P(A) = = n nº de acontecimentos elementares distintos

5 Cálculo de probabilidades: conceito clássico
No cálculo do número de vezes que A pode ocorrer, ou do número total de acontecimentos elementares (todos os casos possíveis), recorre-se muitas vezes ao cálculo combinatório: Arranjos com repetição Arranjos sem repetição Permutaões Combinações

6 Cálculo de probabilidades: conceito frequencista
Realize (ou observe) uma experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes em que ocorreu o acontecimento A. Baseado nestes resultados, P(A) é estimada por nº de vezes que A ocorreu P(A) = nº de experiências realizadas

7 Lei dos grandes números
Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.

8 Estabilização das frequências relativas

9 Valores das probabilidades
A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero). A probabilidade de um acontecimento certo é 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer acontecimento A.

10 Acontecimentos complementares
O complementar do acontecimento A, denotado por Ac, consiste em todos os acontecimentos nos quais o acontecimento A não ocorre. Ω P(Ac)=1-P(A) Ac A

11 Acontecimentos disjuntos
Os acontecimentos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não podem ocorrer em simultâneo. Acontecimentos Acontecimentos disjuntos não disjuntos e

12 Reunião de acontecimentos
P(A ou B) = P(A U B)= = P (o acontecimento A ocorre ou o acontecimento B ocorre ou ambos ocorrem)

13 Reunião de acontecimentos

14 Intersecção de acontecimentos
P(A e B) = P(A ∩ B) =P (o acontecimento A ocorre e o acontecimento B também ocorre)

15 Probabilidade condicionada
P(B|A) representa a probabilidade de o acontecimento B ocorrer após o acontecimento A ter ocorrido (lê-se B|A como “B dado A.”)

16 Intersecção de acontecimentos

17 Resumindo Na regra da probabilidade da reunião de acontecimentos, a palavra “ou” em P(A ou B) sugere adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cada acontecimento seja considerado apenas uma vez. Na regra da probabilidade condicionada, a palavra “e” em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B), mas certifique-se de que a probabilidade do acontecimento B tem em conta o facto de que o acontecimento A já ocorreu.

18 Exemplo Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina. Considere que a probabilidade de nascer menina é a mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e que o sexo de uma criança é independente do sexo dos irmãos.

19 Exemplo: resolução A =“o casal ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos”. Identifique o acontecimento complementar de A. Ac = “o casal não ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos” = “os 3 filhos são rapazes”= “rapaz e rapaz e rapaz” Determine a probabilidade do complementar: P(Ac) = P(rapaz e rapaz e rapaz) = 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.125 (porque os acontecimentos são independentes a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais) Determine a probabilidade de A P(A) = 1- P(Ac) = = 0.875

20 Exemplo:

21 São A e B acontecimentos independentes?
Exemplo: Consideremos a experiência aleatória que consiste em tirar ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas. Seja A o acontecimento “saída de copa” e B o acontecimento “saída de figura”. São A e B acontecimentos independentes?

22 Exemplo: resolução São independentes se

23 Distribuições de probabilidade Variáveis aleatórias

24 Distribuições de probabilidades
As Distribuições de Probabilidade descrevem o que provavelmente acontecerá em vez de o que realmente aconteceu. Dito de outra maneira, as distribuições de probabilidades descrevem as populações e a Estatística Descritiva descreve as amostras observadas.

25 Variáveis aleatórias Uma variável aleatória é uma variável (usualmente representada por X) que toma um certo valor numérico, determinado pelo acaso, de cada vez que a experiência é realizada. A variável aleatória associa números aos acontecimentos do espaço dos possíveis. Uma distribuição de probabilidade permite calcular a probabilidade correspondente a cada valor ou conjunto de valores da variável aleatória.

26 Variáveis discretas e contínuas
Uma variável aleatória discreta toma um nº finito ou infinito numerável de valores. Uma variável aleatória contínua toma um nº infinito não numerável de valores, os quais podem ser associados com medidas numa escala contínua.

27 Variáveis discretas Ficam completamente definidas por qualquer uma das seguintes funções: Função (massa) de probabilidade f(x)=P(X=x), para todo o x possível (X representa a variável aleatória e x um valor que a variável assume) Função de distribuição F(x)=P(X ≤ x), para todo o x real. Notar que F(x)=ΣP(X=xi) para todo o xi ≤ x. F(x) representa a probabilidade acumulada até x.

28 Frequência relativa acumulada
Variáveis discretas População f(x) F(x) Amostra Frequência relativa Frequência relativa acumulada

29 Exemplo: Seja X o número de filhas (raparigas) de um casal com 4 filhos. Consideremos que a probabilidade de nascer menina é igual à de nascer menino e que cada nascimento é independente dos restantes. X é uma variável aleatória que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e 4.

30 Exemplo: P(X=0)=f(0)=P(rapaz e rapaz e rapaz e rapaz)=0.54 = 0.0625
P(X=1)=f(1)=P(“rapariga e rapaz e rapaz e rapaz” ou “rapaz e rapariga e rapaz e rapaz” ou “rapaz e rapaz rapariga e e rapaz” ou “rapaz e rapaz e rapaz e rapariga ” )= 4 x 0.5 x 0.53 = 0.25 P(X=2)=f(2)=P(dois filhos serem rapazes e os outros dois raparigas)=…=4C2 x 0.52 x 0.52 = 0.375 P(X=3)=f(3)=…=4 x 0.53 x 0.5 = 0.25 P(X=4)=f(4)=P(rapariga e rapariga e rapariga e rapariga)=0.54 =

31 Exemplo: Neste caso podemos resumir escrevendo
P(X=x)=f(x)= 4Cx 0.5x x 0.54-x, x=0,1,2,3,4. Também podemos calcular outras probabilidades, por exemplo a probabilidade de o casal ter no máximo 2 filhas. P(X=0 ou X=1 ou X=2) = P(X ≤ 2) = F(2) = f(0)+f(1)+f(2)= =0.6875

32 Parâmetros de uma variável discreta
μ = Σ[x . f(x)] Média σ2 = Σ [(x – μ)2 . f(x)] Variância σ = Σ [(x – μ)2 . f(x)] Desvio Padrão

33 Parâmetros de uma variável discreta
O valor médio de uma variável aleatória X é também designado por valor esperado e representado por E[X] E[X] = μ = Σ[x . f(x)] A variância de uma variável aleatória X é também representada por Var[X] Var[X] = σ2 = Σ [(x – μ)2 . f(x)]