Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081)

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1 Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081)
Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de Lorena Departamento de Engenharia de Materiais Introdução à Mecânica dos Sólidos (LOM3081) Prof. Dr. João Paulo Pascon

2 3.Análise de Tensão e Deformação
3.1. Estado Plano de Tensão 3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte 3.3. Tensões Principais 3.4. Máxima Tensão de Cisalhamento 3.5. O Círculo de Mohr para Tensão Plana 3.6. Tensão Triaxial 3.7. Módulo de Elasticidade Transversal 3.8. Coeficiente de Poisson 3.9. Transformação do Estado Plano de Deformação

3 3.1. Estado plano de tensão (EPT)
Carregamento plano (xy) Definição EPT Estado 3D de tensão (*) Convenção de sinal Tensões cisalhantes

4 3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte
Exemplo uniaxial: calcular as tensões médias no plano inclinado substituindo o ângulo de 45° por um ângulo θ qualquer.

5 3.2. Variação da Tensão com o Plano de Corte
Expressões gerais para as componentes de tensão Identidades trigonométricas

6 Exemplo 3.1. Estado Plano de Tensão
Para o EPT abaixo, determinar: (a) as componentes planas de tensão (b) as componentes de tensão num plano rotacionado em 40° a partir da horizontal no sentido anti-horário (c) o estado de tensão completo rotacionando o sistema em 70° no sentido horário

7 Exemplo 3.1. Estado Plano de Tensão

8 Exemplo 3.2. Estado Plano de Tensão
As fibras de madeira formam um ângulo de 20° com a horizontal. Determinar as componentes de tensão no plano dessas fibras.

9 Exemplo 3.3. Estado Plano de Tensão
O estado de tensão nas proximidades de uma ligação entre duas chapas é mostrado na figura abaixo. (a) Determinar a tensão normal na solda de ligação; (b) Determinar a tensão cisalhante nos rebites de ligação; dreb = 12,7 mm; espaçamento entre os rebites = 3 cm; rebites sob corte simples; espessura das chapas = 20 mm.

10 3.3. Tensões principais Valores extremos Direções principais
Planos principais Tensão cisalhante nas direções principais Invariância das tensões

11 Exemplo 3.4. Tensões principais
Para o EPT abaixo: (a) determinar as tensões principais (b) determinar as direções principais (c) representar o estado nessas direções

12 Exemplo 3.5. Tensões principais
Para o EPT abaixo, determinar o intervalo de valores possíveis para “p” de forma que: (a) a tensão normal não supere, em módulo, o valor de 50 MPa; (b) a tensão normal não supere o limite de tração de 20 MPa, e o limite de compressão de 100 MPa.

13 Exemplo 3.6. Tensões principais
Sabendo que houve ruptura por tração no plano indicado, determinar o valor de τxy, e a resistência à tração do material.

14 3.4. Máxima tensão de cisalhamento
Valores extremos Ângulos correspondentes Tensão normal Tensões principais

15 Exemplo 3.7. Máximo cisalhamento
Para o EPT do Exemplo 3.1, determinar: (a) a máxima tensão de cisalhamento no plano (b) direções correspondentes (c) o estado completo nessas direções

16 Exemplo 3.8. Máximo cisalhamento
Para o EPT abaixo, determinar o intervalo de valores possíveis para “p” de forma que: (a) o cisalhamento não supere, em módulo, o valor de 40 MPa; (b) o material não plastifique de acordo com o critério de von Mises (σesc = 250 MPa)

17 Exemplo 3.9. Direções extremas
Qual o valor da tensão σX que deve ser aplicada ao estado plano da figura abaixo para que: (a) a direção do plano inclinado seja uma das direções principais? (b) a direção do plano inclinado seja uma das direções correspondentes ao máximo cisalhamento no plano?

18 3.5. Círculo de Mohr no caso plano
Método de solução gráfica Equação de um círculo Componentes de tensão Construção do círculo Ângulo θ Valores extremos (direções)

19 Exemplo 3.10. Círculo de Mohr
Traçar o círculo de Mohr para os estados planos abaixo.

20 Exemplo 3.11. Círculo de Mohr
Resolver o Exemplo 3.1 com o Círculo de Mohr. “Para o EPT abaixo, determinar: (a) as componentes planas de tensão (b) as componentes de tensão num plano rotacionado em 40° a partir da horizontal no sentido anti-horário (c) o estado de tensão completo rotacionando o sistema em 70° no sentido horário.”

21 Exemplo 3.11. Círculo de Mohr

22 Exemplo 3.11. Círculo de Mohr

23 Exemplo 3.12. Círculo de Mohr
Traçar o círculo de Mohr para os seguintes estados planos: (a) uniaxial (b) cisalhamento puro (c) pressão hidrostática

24 3.6. Tensão triaxial Estado geral (3D) de tensão
Estado triaxial de tensão Círculo de Mohr Tensão de cisalhamento máxima absoluta

25 Exemplo 3.13. Cisalhamento máximo absoluto
Determinar a tensão cisalhante máxima absoluta para os estados planos abaixo.

26 Exemplo 3.14. Cisalhamento máximo absoluto
Determinar a tensão cisalhante máxima absoluta para o estado de tensão abaixo, sabendo que σZ = -20 MPa.

27 3.7. Módulo Elástico Transversal
Cisalhamento puro Tensão versus deformação Lei de Hooke para cisalhamento (τ < τLP)

28 Exemplo 3.15. Módulo Elástico Transversal
O bloco retangular possui módulo G = lb/in², e está conectado a duas placas rígidas horizontais. Se a placa superior sofre um deslocamento de 0,04 in., determinar: (a) distorção média no plano xy; (b) força P aplicada na placa superior.

29 Exemplo 3.16. Deslocamento por cisalhamento
Calcular o deslocamento vertical total do ponto E considerando a deformação por corte simples nos pinos A, B, C e D. Dados (Ex. 2.8): NAB = 0,6875 kip; NCD = 0,3125 kip; ΔLAB = 0,0181 in.; ΔLCD = 0,0150 in. Pinos: L = 0,5 in.; d = 3/8 in.; G = ksi.

30 3.8. Coeficiente de Poisson
Barra sob carga axial Relação entre as deformações Siméon Denis Poisson (1781–1840) Deformação em termos da tensão

31 Exemplo 3.17. Coeficiente de Poisson
A barra cilíndrica sofre as variações de comprimento e diâmetro mostradas na figura devidas à carga de 12 kN. Determinar o módulo elástico de Young e o coeficiente de Poisson do material.

32 Exemplo 3.18. Coeficiente de Poisson
Determinar a máxima carga que pode ser aplicada em A se a variação do diâmetro não pode exceder in. Trecho AB: aço (E = psi; ν = 0,30). Trecho BC: alumínio (E = 10,6 106 psi; ν = 0,32).

33 3.9. Estado plano de deformação
Estado de deformação geral (3D) Estado plano de deformação (EPD) Exemplos de aplicação

34 3.9. Estado plano de deformação
Transformação no EPD

35 3.9. Estado plano de deformação
Deformações principais Distorção máxima Círculo de Mohr

36 Exemplo 3.19. Estado plano de deformação
Para o EPD abaixo, determinar: (a) componentes planas de deformação; (b) direções e deformações principais; (c) máxima distorção no plano e direções correspondentes; (d) deformações na diagonal da placa.

37 Tópicos Componentes planas de tensão (EPT) Ângulo θ
Tensões em planos inclinados Tensões e direções principais Tensão cisalhante máxima e ângulos correspondentes Traçar o círculo de Mohr

38 Tópicos Cisalhamento máximo absoluto Lei de Hooke para cisalhamento
Modelo de Poisson Estado plano de deformação (EPD)