Matemática II Semelhança.

Apresentação em tema: "Matemática II Semelhança."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática II Semelhança

2 Semelhança de Figuras

3 Semelhança de Figuras

4 Semelhança de triângulos
Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais mas lados não necessariamente proporcionais Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais e lados proporcionais.

5 Semelhança de triângulos
A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos. Na verdade, a forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos 2 de seus 3 ângulos.

6 Semelhança de triângulos
Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos também é igual. Neste caso, os ângulos Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

7 Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos correspondentes sejam congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de proporcionalidade razão de proporcionalidade

8 Semelhança de Triângulos

9 Semelhança de Triângulos

10 Critérios de Semelhança

11 Critérios de Semelhança

12 Critérios de Semelhança

13 Critérios de Semelhança

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15 2. Na figura, temos DE // BC. Qual o valor de x? Qual o valor de y?
Qual o perímetro do ∆ ABC? Qual o perímetro do ∆ ADE?

16 Consequências da Semelhança

17 Consequências da Semelhança

18 Consequências da Semelhança

19 Relações métricas no triângulo retângulo

20 Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto. Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. hipotenusa cateto cateto cateto cateto hipotenusa

21 Outros segmentos do triângulo retângulo
a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa. m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. b c h n m a

22 A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.

23 Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:
 +  = 90º   h   C B H

24 (I)  +  = 90º (II)  +  + 90º = 180º  +  = 90º     Comparando (I) e (II), tem-se:  +  =  +    = . Portanto,  = .

25 (I)  +  = 90º (III)  +  + 90º = 180º  +  = 90º     Comparando (I) e (III), tem-se:  +  =  +    = . Portanto,  = .

26 A Conclusão Como  =  e  = , os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes pelo caso (AA).   h   B C H A B C H  

27 1ª relação métrica h c n A H B h b m A H C m b h c h n

28 2ª relação métrica b c A B C a h b m A H C a b c b m h

29 3ª relação métrica h c n A H B b c A B C a a b c c h n

30 4ª relação métrica h c n A H B b c A B C a a b c c h n

31 Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica)
Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: b c h n m a 2ª relação: b² = m . a 3ª relação: c² = n . a Observe que a = m + n

32 Teorema de Pitágoras Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A b a² = b² + c² c B a C

33 Resumo Relações métricas: 1ª) h² = m . n 2ª) b² = m . a 3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c Teorema de Pitágoras 5ª) a² = b² + c² a m n h b c

34 O Triângulo Retângulo n m

35 O Triângulo Retângulo Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

36 Aplicações do Teorema de Pitágoras

37 Exercícios