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PublicouJoão Henrique Azenha Corte-Real Alterado mais de 6 anos atrás
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PROBALIDADE & VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Probabilidade e Freqüência Relativa - Def. Probabilidade Conjunta (Joint) - Def. Probabilidade Condicional - Def. Regra do Produto ( Bayes) Eventos Independentes : Axiomas da Probabilidade : S Evento certo AB = em
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P(x) x Result [.] Valor da RV x [.] Probab. P(x) A 0.0 0.10 B -3.0
0.05 C -1.5 0.20 D -2.0 0.15 E +0.5 F +1.0 G +2.0 0.00 H +3.0 0.30 Total 1.00 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Uma variável aleatória real é uma função de valor real definida sobre o espaço amostral de um sistema de probabilidade. P(x) A C B E 0.3 D F G H x Diagrama de Venn
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Função Distribuição de Probabilidade
Def. FDP de uma v.a. x é dada por F(x), onde x 0.4 0.2 1.0 F (x) Função Densidade de Probabilidade Def. fdp de uma v.a. x é dada por f(x), onde x 0.3 f (x)
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Média e Momentos no Ensemble
Teorema Teorema Se x é uma v.a. discreta, então onde M é o número de pontos. Teorema - Se x é discreta, então onde L é o maior inteiro tal que xL x e L M, onde M é o núme- ro de pontos na distribuição. Aqui assume-se que x1 < x2 < ···< xM. Média e Momentos no Ensemble Def - O valor esperado ou média de y = h(x) é dado por Teo - Se x é uma variável aleatória discreta, o valor esperado é dado por onde M é o número de pontos da distribuição.
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Distribuições Importantes
Momentos Def. O n-ésimo momento de uma v.a. x tomado em torno de um valor a é: Def. O valor esperado ou média de uma v.a. x é: Def. A variância é o segundo momento tomado em torno da média: Teo. Def. Desvio padrão: Distribuições Importantes Distribuição Binomial A probabilidade de obter uma palavra de comprimento n contendo k bits 1 é onde p é a probabilidade de ocorrência do bit 1 Seja x = k, onde k = 0, 1, 2, ... n. A PDF binomial é
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Distribuição de Poisson
Média da distri- buição binomial Variância Distribuição de Poisson Seja = o número médio de ocorrências no intervalo [ 0, ] onde é a taxa média de ocorrência de eventos. A probabilidade de k ocorrências em um intervalo [ 0, ] é t x(t), uma amostra do processo x(t)
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Distribuição de Poisson (cont)
f (x) P (u) 1/A x u mx A Distribuição Uniforme Distribuição Gaussiana
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y = h(x) y = h(x) x = g(y)
Distribuição Gaussiana Bidimensional (Bivariate) Se X e Y são não-correlacionadas, = 0, então Se X e Y são v.a. gaussianas não-correlacionadas X e Y são independentes Transformação Funcional N- dimensional (Multivariate) x1 y1 x2 y2 y = h(x) x y xN yN y = h(x) x = g(y)
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fdp’s Conjunta e Condicional
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Transformação de Variáveis Aleatórias
Distribuição Senoidal Teo: Se , onde tem distribuição uniforme, ou seja então a fdp para a senóide é Transformação de Variáveis Aleatórias Teo: Se y = h(x), onde h(·) é a característica de transferência de um dispositivo sem memória, então a PDF da saída é onde fx(x) é a fdp da entrada, x. M é o número de raízes reais de y = h(x). Isto é, há g1, g2, ... , gM funções inversas de h(·) para cada valor de y.
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Estatística com Variáveis Múltiplas (Multivariate)
Def: Uma fdp N-dimensional é Def: O valor esperado de y = h(x) é Estatística Conjunta (Bivariate) Def: A correlação ou média conjunta de duas v.a’s. x e y é Def: Duas v.a. x e y são não-correlacionadas se Def: Duas v.a. x e y são ortogonais se Teo: A fdp marginal de y, fy(y), dado fxy (x,y) é Def: A covariância entre as v.a. x e y é Def: O coeficiente de correlação entre as v.a. x e y é
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Teorema do Limite Central
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Processos Estocásticos
Def. Processo estocástico é um conjunto indexado de funções de algum parâmetro (tempo) que tem certas propriedades estatísticas. Processo Estocástico Digital
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Comparação entre autocorrelações de dois processos, x(t) & y(t)
Autocorrelação Def. Função autocorrelação de um processo real x(t) é Comparação entre autocorrelações de dois processos, x(t) & y(t)
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Teo. Um processo estocástico pode ser descrito por um conjunto
indexado de variáveis aleatórias. Exemplo: Suponha que uma fonte de ruído tenha uma distribuição gaussiana. Então quaisquer das variáveis serão descritas por Estacionaridade e Ergodicidade Diz-se que um processo aleatório x(t) é estacionário de ordem N se, para todo t1, t2, . . ., tN, onde é uma constante real arbitrária e Def. Diz-se que um processo aleatório é ergódico se todas as médias temporais de qualquer função amostra são iguais às médias estatísticas correspondentes: Média Analogamente Exemplo de processo ergódico: onde A e o são constantes e é uma variável aleatória uniformemente distri- buída no intervalo (0,2).
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Produto de funções de V.A.’s
Correlação A co-variância entre duas VAs, x e y, é uma medida simples de calcular e pode proporcionar informação útil sobre a dependência entre x e y. Def. A covariância, XY é Def. As VAs x e y são não-correlacionadas se Portanto, VAs não-correlacionadas são independentes. Entretanto, a recíproca nem sempre é verdadeira. Exemplo: x = cos e y = sen , onde é uniformemente distribuída no intervalo (0, 2). Obs. Em geral a independência entre duas V.A.’s é uma condição mais forte e restritiva do que o correlacionamento entre elas. Produto de funções de V.A.’s Seja a função de VAs, z(x,y) = u(x)v(y) então Se x e y são VAs independentes
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Autocorrelação Processo Ergódico* Processo Ergódico:
Def. Autocorrelação de um processo real x (t) Processo estacionário: Processo Estacionário no Sentido Amplo (Wide-Sense or Weakly) Processo Ergódico* Média temporal Autocorrelação Processo Ergódico: * Aqui a função amostra x (t,i) é representada por x(t) por simplicidade
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Transmissão de Processos Aleatórios Através de Sistemas Lineares
PROCESSOS ALEATÓRIOS MÚLTIPLOS Correlação cruzada (crosscorrelation) entre dois processos estocásticos x e y Processos conjuntamente estacionários (jointly stationary) no sentido amplo Processos não-correlacionado (uncorrelated) Processos ortogonais ou incoerentes Processos independentes Densidade Espectral de Potência Cruzada (Cross-Power Spectral Density) Processos reais Transmissão de Processos Aleatórios Através de Sistemas Lineares H() h(t) x(t) y(t)
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Exemplos EXEMPLO 1 : Mostre que o processo estocástico, onde é um V.A. uniformemente distribuída no intervalo (0,2), é um processo estacionário no sentido amplo. EXEMPLO 2 : Obtenha a autocorrelação e a potência do ruído branco filtrado por um filtro ideal passa baixa de largura de banda B Hz. EXEMPLO 3 : Obter a PSD e o valor médio quadrático do processo do Exemplo 1
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Exemplo 4 : Obter a autocorrelação, a PSD e a potência de um sinal AM DSB-SC
Também, m ( t ) é estacionário no sentido amplo.
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