ESTUDO DE FRAÇÕES Uma fração... muitas ideias...

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1 ESTUDO DE FRAÇÕES Uma fração... muitas ideias...
FORMADORA: PROFA. DRA. SANDRA VILAS BÔAS

2 QUEM SOMOS?

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4 IDEIA DE ÁREA E FRAÇÕES: uma relação necessária.

5 TEMPESTADE DE IDEIAS: PAINEL
  Registre UMA situação na qual frações são úteis.

6 Um olhar teórico Vamos ler!!!!
TEXTO: O que nossos alunos podem estar deixando de aprender sobre frações, quando tentamos ensinar frações

7 O QUE SIGNIFICA? X? Y?

8 O QUE SIGNIFICA? 1? ?

9 É muito comum ele ter de repartir ou o pão, ou o bolo, ou o chocolate com o irmão ou irmãos, ou com um ou mais amigos. Cada um deles recebendo ½, 1/3 ou ¼ do pão , do bolo ou do chocolate.

10 Ideia 1: Fração como parte de uma unidade.
A ideia mais usual de fração é aquela que pensa a fração como parte de uma unidade, que foi dividida em partes iguais. Podemos pensar a fração como um todo que foi dividido em partes iguais e se tomou algumas dessas partes.

11 EXEMPLIFICAÇÃO

12 PARA REFLETIR As primeiras noções de frações como partes de um todo o aluno (a) já traz de casa?

13 Discutindo a ideia 1 Uma primeira observação que merece ser feita é sobre o significado da palavra igual. . A igualdade a que nos referimos não é de forma ou quantidade, mas sim de “área”, ou seja, da medida da superfície que representa o objeto

14 As partes pintadas de todos os retângulos da figura abaixo representam a fração ½? Todas têm a mesma área?

15 EXISTE METADE MAIOR??? TODA METADE TEM O MESMO TAMANHO???
É PRECISO QUE AS CRIANÇAS DESCUBRAM AS DIFERENTES METADES DE UM TODO DE DIFERENTES TAMANHOS CONCRETAMENTE. A METADE DE UMA MELANCIA NÃO É DO MESMO TAMANHO DA METADE DE UMA BANANA OU DE UMA LARANJA.

16 Mas essa ideia deve ser aprimorada na escola, pois é muito comum ouvirmos meninos pequenos falarem que querem a “metade maior”. Significa que o conceito de fração como parte de um todo que foi dividido em partes iguais ainda não está bem construído.

17 INVESTIGANDO A RELAÇÃO PARTE TODO
AÇÃO: DOBRE UMA TIRA DE PAPEL, DE MODO A DIVIDI-LA EM DUAS PARTES IGUAIS. REFLEXÃO NA AÇÃO: ESSAS PARTES SÃO IGUAIS? QUE FRAÇÃO DA TIRA DE PAPEL CADA UMA DELAS REPRESENTA?

18 ATIVIDADE INVESTIGATIVA
AÇÃO: TOME UMA TIRA DE PAPEL, DO MESMO TAMANHO QUE A ANTERIOR E DOBRE-A AO MEIO E DOBRE AO MEIO MAIS UMA VEZ. REFLEXÃO NA AÇÃO: EM QUANTAS PARTES FICOU DIVIDIDA A TIRA DE PAPEL? ESTAS PARTES SÃO IGUAIS? QUE FRAÇÃO DA TIRA DE PAPEL CADA UMA DELAS REPRESENTA? COMPARANDO AS PARTES DA TIRA 1 COM AS DA TIRA 2 QUE PODEMOS CONCLUIR?

19 ATIVIDADE INVESTIGATIVA
AÇÃO: TOME UMA TIRA DE PAPEL, DO MESMO TAMANHO QUE A ANTERIOR E DOBRE-A AO MEIO E DOBRE AO MEIO MAIS UMA VEZ E MAIS UMA VEZ. REFLEXÃO NA AÇÃO: EM QUANTAS PARTES FICOU DIVIDIDA A TIRA DE PAPEL? ESTAS PARTES SÃO IGUAIS? QUE FRAÇÃO DA TIRA DE PAPEL CADA UMA DELAS REPRESENTA? COMPARANDO AS PARTES DA TIRA 1 COM AS DA TIRA 2 E DA TIRA 3, QUE PODEMOS CONCLUIR? QUAIS CONCEITOS ESTÃO NESSA ATIVIDADE

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21 Uma mesma fração pode representar várias ideias diferentes?

22 FRAÇÕES EQUIVALENTES Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

23 Portanto... Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Isso porque dividimos o todo (a mesma área) em diferentes quantidades de partes iguais, e quando dividimos aumentamos a quantidade de partes, daí a necessidade de multiplicarmos.

24 FAZ SENTIDO ESSA AFIRMAÇÃO?

25 PODEMOS AGORA DEFINIR FRAÇÕES???

26 INVESTIGANDO CONCEITOS
AÇÃO: UTILIZANDO OITO TIRAS DE PAPEL, COLORIR AS SEGUINTES FRAÇÕES: ½, ¼, 1/8, 2/4 ,3/4, 3/8, 5/8, E 2/2. REFLEXÃO NA AÇÃO: QUAL DESTAS FRAÇÕES REPRESENTA A MAIOR ÁREA? QUAL REPRESENTA A MENOR ÁREA? QUAIS FRAÇÕES REPRESENTAM ÁREAS IGUAIS? QUAL DAS DUAS FRAÇÕES REPRESENTA A PARTE MAIOR: 5/8 OU 3/4 ? EXPLIQUE SUA RESPOSTA

27 Uma mesma fração pode representar várias ideias diferentes?
NOVAMENTE: Uma mesma fração pode representar várias ideias diferentes?

28 TI 11 - DESAFIO

29 Ideia 2: Fração como parte de um conjunto
Grandezas discretas: é aquela que associa as frações a subconjuntos de um conjunto. Cada fração de um conjunto é um subconjunto desse conjunto. EXEMPLO: Em um conjunto com 5 elementos, cada subconjunto com 2 elementos corresponde a 2/5 desse conjunto; Em um conjunto de 10 elementos, qualquer subconjunto de 4 elementos corresponde a 2/5 desse conjunto; e assim por diante

30 Por exemplo: As bolas pintadas de cinza correspondem a 4/10 ou 2/5 do total de bolas representadas na figura

31 Discutindo a ideia 2 As frações também estão sendo utilizadas aqui para representar uma ou mais partes de um todo que foi dividido em partes iguais. Só que, nesse caso, o todo é um conjunto, ou seja, uma grandeza discreta e o que se divide são os elementos do conjunto, formando, assim, um subconjunto. As partes iguais não são necessariamente iguais em forma ou tamanho. São iguais em número de elementos.

32 Discutindo a prática Assim é que de um conjunto com quatro pessoas, independente de idade, de tamanho, de sexo etc. Duas quaisquer dessas pessoas representam metade do conjunto, ou ½ do conjunto

33 Uma mesma fração pode representar várias ideias diferentes?
NOVAMENTE: Uma mesma fração pode representar várias ideias diferentes?

34 ATENÇÃO: Um ponto a se considerar é o “tamanho” (número de elementos) do conjunto considerado como todo. Fique atento para que não ocorra, em um primeiro momento, a necessidade de se dividir (quebrar) algum dos elementos do conjunto. Não faz muito sentido falar em uma bola de gude dividida em duas partes ou em um ovo dividido em três partes, por exemplo. Para iniciar um trabalho com crianças, um número bom de elementos para o conjunto que vai representar o todo é 12, uma vez que de um conjunto com doze elementos pode-se, facilmente, encontrar: ½; ¼; 1/3; 1/6 e 1/12.

35 ATIVIDADE INVESTIGATIVA
. Separe um conjunto de 30 peças de material de contagem (tampinhas, sementes, pequenos cubos do material dourado, dentre outros materiais). Divida seu conjunto em duas partes iguais. Registre as frações encontradas. ½ = ____ elementos /2 = ____ elementos Divida agora seu conjunto em três partes iguais. Registre as frações encontradas. 1/3 = ____ elementos /3 = ____ elementos /3 = ____ elementos Repita para cinco partes iguais. Repita para seis partes iguais. Repita para dez partes iguais. Divida este conjunto em 4, 7, 8, 9 partes iguais.

36 ATIVIDADE INVESTIGATIVA
Separe um conjunto de 42 peças de material de contagem. Desta vez, você decide em quantas partes iguais você pode dividir seu conjunto sem precisar partir um elemento.

37 ATIVIDADE INVESTIGATIVA
Encontre 7/5 de um conjunto de 15 elementos? Esta fração corresponde a quantos elementos? Utilize material concreto.

38 Ideia 3: Representação de frações na reta numérica
A visualização dos números fracionários na reta numérica não deveria, a rigor, ser considerada como uma nova ideia, pois também se trata da divisão de uma unidade em partes iguais. Só que, ao invés de destacarmos a parte, passamos a destacar pontos da reta. Como em uma régua, marcamos os valores inteiros em intervalos iguais, como ilustrado abaixo. O número 1 passa, então, a ser representado por um ponto na reta, que dista uma unidade do zero para a direita, o número 2 pelo ponto que dista uma unidade para a direita do número 1, e assim sucessivamente...

39 Reta numérica ou régua numérica???

40 Na reta numérica, para determinar a posição da fração 2/5 dividimos o intervalo que vai de zero até 1 em cinco partes iguais, encontrando os pontos A, B, C, D e E (esse último coincidindo com o número 1). O ponto A é associado a 1/5, o ponto B representa na figura 2/5, o ponto C representa 3/5, o ponto D representa 4/5 e o E representa a unidade completa 5/ 5 ou 1 inteiro.

41 MARCAR AS FRAÇÕES NA RETA NUMÉRICA. 1/3, 2/3, 3/3, 5/3, 7/3 E 1 2/3
? Explique por que 1 = 3/3.

42 Discutindo a prática A identificação das frações com pontos na reta numérica não apenas ajuda ao aluno a perceber a fração como um novo tipo de número, que ele começa a conhecer, como pode ser um ótimo recurso didático no momento de estudar o conceito de frações equivalentes. Por exemplo, na figura abaixo vemos a divisão da unidade em cinco e em dez partes iguais. Fica simples perceber que as frações 2/5 e 4/10 representam o mesmo ponto no intervalo, ou seja, são...

43 NOVAMENTE FRAÇÕES EQUIVALENTES

44 TRACE VÁRIOS SEGMENTOS DE RETA DE TAMANHO IGUAIS (12 UNIDADES) E MARQUE OS NÚMEROS 0 E 1 EM SEUS EXTREMOS. AGORA, MARQUE NESTES SEGMENTOS AS FRAÇÕES: 1/2; ¾; 2/3; 2/6 4/6; 6/18 E 6/8. DENTRE AS FRAÇÕES LISTADAS HÁ MAIS DO QUE UMA ASSOCIADA A UM MESMO PONTO NA RETA? CASO AFIRMATIVO, QUAIS SÃO ELAS?

45 Material concreto para frações.

46 Material concreto para frações.

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48 TI 13 - Utilizando fichas UM MEIO UM QUARTO INTEIRO Quantas fichas de ¼ são necessárias para cobrir a ficha de um inteiro? Quantas fichas de ¼ são necessárias para cobrir a ficha metade? Quantas fichas de ½ são necessárias para cobrir a ficha de um inteiro? Utilizando fichas de ½ represente 2 inteiros. Utilizando fichas de ¼ represente 1 inteiro e ½. Escreva as frações representadas pelo conjunto das figuras:

49 = __________ Utilizando as fichas realize as operações e registre em forma de desenhos: ½ + ¼ = _________________ 1 3/ ¼ = _________ 1 + 3/2 + ¾ = _____________ 2 ¾ ½ = __________ 2 2/ ½ = __________________ / ¾ = _____ Para realizar a operação ¼ + 1/8 o conjunto de fichas é suficiente? Justifique. Para realizar a operação 1 2/ /10 de que maneira deve ser construído o conjunto de fichas?

50 Adição e subtração de frações

51 TI 14 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
a) Represente no papel quadriculado as frações 1/5 e 3/5, a seguir represente no papel quadriculado a soma destas frações. (b) Represente no papel quadriculado as frações 8/9 e 4/9, a seguir, represente no papel a diferença entre estas frações. (c) Represente no papel quadriculado as frações 2/3 e 1/6, a seguir, represente o resultado da adição e da subtração destas frações. (d) Represente no papel quadriculado as frações 5/7 e 1/14 e também o resultado da adição e da subtração destas frações. (e) Represente no papel quadriculado o resultado de: 7/10 + 2/5 (f) Represente no papel quadriculado o resultado de: 15/4 - 3/8 (g) Como levar uma criança a compreender a necessidade de igualar os denominadores para somar e subtrair frações?

52 TI 15 - Multiplicação e divisão de frações
Como você representaria, por desenho em papel quadriculado, as seguintes situações? Exibir 1/2 de 3 (ou a metade de 3) Exibir 2 vezes 1/5 (ou o dobro de 1/5 ) Exibir a terça parte de 1/2 Exibir quantos “quintos” cabem em 3 inteiros. Para cada um dos itens da TI 15, escreva uma operação matemática que represente a ação sugerida por seu trabalho.

53 TI 16- Explorando o Material Dourado para estudo de números decimais
Estudar números decimais é estudar outra representação da divisão da unidade em partes iguais. Vamos usar a ideia decimal, isto é, faremos divisões em 10 partes. Para explorar o Material Dourado neste estudo, temos que fazer adaptações. Como não podemos dividir o “cubinho” que usamos como unidade no estudo dos naturais, vamos considerar agora a placa do Material Dourado como a unidade. Assim teremos

54 Como o décimo representa a décima parte da unidade, na notação decimal, ele deve ser escrito à direita da mesma. A vírgula aparece para deixar claro qual é a parte inteira do número e evitar confusões. Se ela não existisse, poderíamos confundir a representação do 12 com a de 1 inteiro e 2 décimos, por exemplo. No entanto, estas quantidades são bem diferentes, como mostrado na figura abaixo, usando o QVL e o material dourado 12 1,2

55 Complete: 1 décimo = ______ centésimos 1 unidade =______ centésimos

56 Agora responda as atividades abaixo:
A)Represente com o material dourado e depois ordene do menor para o maior os seguintes números decimais: 0,2 0,18 0,09 2,3 1,2 0,12 0,9 1,75 1,30 2,08 B) Desenhe uma reta numérica no papel quadriculado e assinale os números decimais acima. Procure aproximar corretamente os números decimais que não puder marcar com exatidão. C) A seguir, escreva estes números decimais como frações. D) Represente com material dourado e o QVL as seguintes adições: 1,74 + 0, 46. 1,4 + 1,03. 3,99 + 2,01. Para cada uma delas, faça as trocas que forem necessárias com o material dourado para obter o resultado da adição e depois efetue a operação, justificando seu trabalho. E) Represente com material dourado e o QVL as seguintes subtrações: 1,74 – 0,86. 1,4 – 1,03. 4,01 – 2,99. Para cada uma delas, faça as trocas que forem necessárias com o material dourado para obter o resultado da subtração e depois efetue a operação, justificando seu trabalho

57 Mais uma vez, vemos que escrever 0,1 é o mesmo que escrever 1/10 (repare que esta identificação é tão importante que chamamos as duas representações exatamente pelo mesmo nome – um décimo). Da mesma forma que fizemos quando aprendemos a grupar e a desagrupar de 10 em 10 para representar números naturais, também podemos continuar grupando e desagrupando os valores decimais. Mantendo o mesmo princípio decimal, podemos dividir os décimos, obtendo os centésimos, que serão representados no Material Dourado pelos pequenos cubos.

58 TI 17 – NÚMEROS DECIMAIS TI 17 - Como você representaria, por desenho em papel quadriculado, as seguintes situações? Exibir a metade 1,6 Exibir o dobro de 0,7 Exibir a terça parte de 1,8 Exibir quantos “quintos” cabem em 1,6. Para cada um dos itens da TI 16, escreva uma operação matemática que represente a ação sugerida por seu trabalho.

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