3. NOÇÕES DE PROBABILIDADE

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1 3. NOÇÕES DE PROBABILIDADE
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA BACHARELADO EM ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 3. NOÇÕES DE PROBABILIDADE Estatística Aplicada à Administração Prof. Alessandro Moura Costa

2 Introdução A maioria das tomadas de decisões no mundo dos negócios são baseadas em condições de incerteza. Vejamos alguns exemplos: Quais são as possibilidades de que as vendas caiam se aumentamos os preços? Quais as chances de um novo método de montagem aumentar a produtividade? Qual a probabilidade do projeto terminar no prazo? Quais são as chances de um novo investimento ser lucrativo? 2

3 Na vida prática e no mundo dos negócios, encontraremos sempre situações desta natureza que apesar de se repetirem várias vezes em condições uniformes e, embora se tome o máximo cuidado para manter as condições ambientais homogêneas, aparecerá uma variabilidade intrínseca que não pode ser mantida sob controle. Devido a isso não é possível prever (predizer) com exatidão o resultado de uma repetição isolada. Com isso, o trabalho estatístico busca, com determinado grau de confiança, obter o desenvolvimento teórico de um fenômeno ou de um acontecimento. Para tanto é necessário que se formule um modelo que ajude a melhor elucidá-lo. No campo da estatística, os modelos matemáticos utilizados são denominados, modelos não-determinísticos ou probabilísticos, ou seja, que avaliam com que probabilidade os resultados podem ocorrer. 3

4 1. Conceitos básicos Experimento aleatório (E): é uma das realizações do fenômeno sob observação. Se o fenômeno seguir um modelo não-determinístico, tem-se um experimento aleatório, com as seguintes características: O experimento pode ser repetido n vezes; Embora não seja possível afirmar que resultado em particular ocorrerá, é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento; A medida que aumenta o número de repetições surgirá uma certa regularidade que torna possível a construção de um modelo matemático. 4

5 a) - Exame de uma peça quanto ser perfeita ou defeituosa:
Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Este pode ser discreto e contínuo. Espaço amostral discreto: assume valores finitos – domínio dos número inteiros. Exemplos: a) - Exame de uma peça quanto ser perfeita ou defeituosa: S ( perfeita; defeituosa) b) - Exame de duas peças quanto ser perfeita ou defeituosa: S { (perfeita, perfeita); (defeituosa, defeituosa); (perfeita, defeituosa); (defeituosa, perfeita) } Espaço amostral contínuo: assume valores infinitos – domínio dos números inteiros e fracionários. Exemplos: a) - Exame sobre o salário de João: S ( 800 ≤ X ≤ 1000) b) - Vendas em um determinado mês: S ( ≤ X ≤ ) 5

6 Evento (A; B; C;...): é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento.
Tipos de eventos: Evento mutuamente exclusivos Eventos complementares Eventos impossíveis Eventos dependentes 6

7 2. Exigências básicas da probabilidade
Ao atribuir probabilidades ao sucesso de um experimento, devem-se cumprir duas exigências básicas da probabilidade: Os valores da probabilidade atribuída a cada um dos sucessos deve estar sempre entre 0 e 1, inclusive 0 ≤ P(A) ≤ 1 A soma das probabilidades para todos os valores que formam o espaço amostral precisa ser igual a 1. Por exemplo: se temos um experimento que somente admite três resultados possíveis (A,B,C), então teremos: P(A) + P(B) + P(C) = 1 7

8 Variável Aleatória (x)
3. Variáveis aleatórias Variável Aleatória - uma descrição numérica do resultado de um experimento. Pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo dos valores numéricos que ela assume. 1. Variável Aleatória Discreta (VAD): é aquela que pode assumir um número finito, ou infinito enumerável de valores em S. Exemplos: Experimento Variável Aleatória (x) Possíveis vlrs p/ VAD Inspecionar um embarque de 50 peças Número de peças defeituosas 0,1,2, ,50 Auditar 10 declarações de imposto Número de declarações que contêm erro 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Verificar os clientes inadimplentes num período de 30 dias Número de inadimplentes na empresa 0,1,2,3,4,5,6,7, 8

9 2. Variável aleatória contínua (VAC): É aquela que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou uma coleção de intervalos. Geralmente surgem de dados de medições, como por exemplo, comprimento, peso, altura, temperatura, distância, etc. Exemplos: Experimento Variável Aleatória (x) Possíveis valores para variável aleatória Operar um banco Tempo entre as chegadas dos clientes em minutos x ≥ 0 Trabalhar em um projeto para construção de uma filial da empresa % de termino do projeto após 6 meses 0 ≤ x ≤ 100 Monitorar chamadas telefônica de reclamações que chegam na empresa Tempo em minutos entre chamadas consecutivas recebidas 0 ≤ x ≤ 50 9

10 4. Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Os valores possíveis de uma V.A. e suas respectivas probabilidades determinam a distribuição de probabilidades da V.A. Algumas, por apresentarem características semelhantes, nos permitem estabelecer um modelo teórico para determinar a solução de certos problemas. Para variáveis aleatórias discretas, os modelos estudados são: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson. 10

11 4.1 Distribuição Binomial
Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está relacionado apresenta as seguintes condições: a)Dois resultados são possíveis em cada prova: sucesso e fracasso b) Define-se: sucesso = p ; fracasso = q = 1- p c)As probabilidades do sucesso e do fracasso são conhecidas e permanecem imutáveis durante a experiência 11

12 p = probabilidade do sucesso q = probabilidade do fracasso
P(x) = px .qn-x Fórmula de cálculo: n! x! (n-x)! x = n° de sucessos n = n° de experimentos p = probabilidade do sucesso q = probabilidade do fracasso Exemplo: Se há uma P de 0,70 de um consumidor, escolhido aleatoriamente, demandar uma certa marca de vinho, qual a P de entre 3 consumidores: a) Exatamente dois demandarem esse produto? b) Pelo menos um demandar esse produto? c) No máximo um demandar esse produto? 12

13 4.2 Distribuição de Poisson
É frequentemente útil para calcular probabilidades quando o evento do sucesso tem uma p(x) muito pequena. O seu emprego é útil para o controle de qualidade, para contar a quantidade de defeitos em um artigo, para calcular a probabilidade de sinistros em problemas de seguros, para obter a probabilidade de ocorrer acidentes, etc. Em resumo, a distribuição trata de resolver problemas de probabilidade dos chamados eventos que raramente acontecem, isto é, tem uma probabilidade muito pequena de ocorrência. A distribuição de Poisson é um caso particular da Binomial. 13 13

14 P(x) = probabilidade de x ocorrer, que pode ser em um intervalo
Fórmula de cálculo: P(x) = x e - x! onde: P(x) = probabilidade de x ocorrer, que pode ser em um intervalo = valor esperado, número médio de ocorrências em um intervalo ou média do sucesso x = nº de sucessos e = é a base dos logaritmos neperianos. Seu valor é 2,718 µ = n . p 14

15 Exemplo: Sabe-se que 2% dos clientes de uma agência bancária encerraram sua contas de poupança com a justificativa de falta de cortesia no atendimento de parte dos funcionários. Qual a P(x) de, entre 5 clientes selecionados aleatoriamente: a)Exatamente 3 encerrarem suas contas pelo motivo acima referido; b)Menos do 3 encerrarem suas contas pelo mesmo motivo; c)Nenhum encerrar sua conta. 15

16 4.3 Distribuição Normal Também é conhecida como distribuição de Gauss.
É um dos mais importantes modelos de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas, sendo aplicado em inúmeros fenômenos. 16

17 Características da Distribuição Normal
A curva da distribuição tem forma de sino e é simétrica em relação a média (µ). A área total sobre a curva é 1 ou 100%. A distribuição normal é uma distribuição contínua, onde x pode assumir quaisquer valores do campo real desde -∞ até +∞ Trabalha com parâmetros de indicadores populacionais: µ e σ² É uma curva normal assintótica, com relação ao eixo horizontal, isto é suas caudas aproximam-se dele, mas não o tocam jamais. 17

18 FÓRMULA PARA CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
X - µ Z = σ Onde: Z crítico ou calculado = é o valor que a variável Z assume para um dado X. µ = valor da média σ = valor do desvio padrão X = variável aleatória contínua OBS: Os valores de Z e suas respectivas áreas de probabilidade estão tabelados. 18