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Problema restrito dos 3 corpos
Seminário Diagonal Ana Knopfli 2º ano \ LMAC 18/5/2004
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Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é da forma (1) em que x = x(t) é função de uma variável real t e em que todas as suas derivadas x(i) são também calculadas em t. Exemplo:
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Equações Diferenciais
A equação (1) é de n-ésima ordem porque n é a maior ordem de derivação. Neste caso, resolver a equação equivale a resolver um sistema de n equações de 1ª ordem. Espaço de fase n-dimensional, com coordenadas x1,…,xn. Exemplo: Equação de um oscilador simples (2ª ordem) Sistema de eqs. de 1º ordem
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Equações Diferenciais
Condições Iniciais Normalmente, a maioria das equações diferenciais tem um conjunto de soluções com infinitos elementos.
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2. Movimento de n corpos F = m . a n corpos de massas m1, …, mn
3 dimensões 3n equações de 2ª ordem 6n equações de 1ª ordem
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2. Movimento de n corpos n = 2
Multiplicando as eqs. por m1 e por m2 e somando-as obtém-se: Primitivando…
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2. Movimento de n corpos Movimento em torno de um corpo de massa M na origem
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2. Movimento de n corpos
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2. Movimento de n corpos Há conservação de: Energia Momento Angular
Vector de Laplace A órbita encontra-se num plano. Equação de uma cónica
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2. Movimento de n corpos Para n = 3 já podem surgir movimentos bastante complexos… Um modo de obter soluções aproximadas é através de métodos computacionais: Método de Euler Método de Runge-Kutta Problema Restrito dos 3 corpos
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3. Problema restrito dos 3 corpos
Dois corpos movem-se em torno do seu centro de massa, com órbitas circulares. Um terceiro corpo que não influencia o movimento dos dois anteriores, mas que é atraído por eles, move-se no plano definido pelos mesmos. 2 equações de 2ª ordem → sistema de 4 equações de 1ª ordem. → sistema em R4, com variáveis Como a energia é conservada: podemos considerar á órbita numa hipersuperfície de 3 dimensões.
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3. Problema restrito dos 3 corpos
→ Secção de Poincaré
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3. Problema restrito dos 3 corpos
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FIM
