MATEMÁTICA.

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA."— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA

2 Matemática contexto e aplicações
Luiz Roberto Dante – 1º ano Ensino Médio

3 3º Bimestre – Função exponencial e função logarítmica
Neste bimestre foram trabalhados os temas: Revisão de potenciação Revisão de radiciação Função exponencial Equações e inequações exponenciais Logaritmos – definição Consequências e propriedades dos logaritmos Função logarítmica Equações e inequações logarítmicas Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

4 Capítulo 5 – função exponencial
Revisão de potenciação 𝑎 𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎... 𝑎 n-fatores , 𝑎 é um número real positivo e n é um número natural maior ou igual a 2. a é a base; n é o expoente e an é a potência de base a. a ≠ 0 e m > n Professor, não é aconselhável criar situações para o 0° que alguns afirmam ser zero e outros uma indeterminação. Esse resultado não afetará nossos estudos. b ≠ 0 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

5 Capítulo 5 – função exponencial
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO Para n ∈ ℕ* e a ≠ 0: Fique atento: I. II. é chamado de inverso de a Com a ∈ℝ e n = 2, 3, 4, ... Com a ∈ ℝ* e m, n = 2, 3, 4, ... Professor, na última propriedade desse slide, m que é o expoente de a, poderia também ser o expoente do radical. Exemplo: Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

6 Capítulo 5 – função exponencial
POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO A notação científica permite escrever números muito grandes ou muito pequenos usando potências de base 10. Sua principal utilidade é a de fornecer, em um relance, a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo imediato. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1, 10) e uma potência de 10. Veja como são escritos os números em notação científica. 300 = 3 ⋅ 100 = 3 ⋅ 10² 0,0052 = 5,2 ⋅ 0,001 = 5,2 ⋅ 10 −3 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

7 Capítulo 5 – função exponencial
REVISÃO DE RADICIAÇÃO 𝑛 𝑎 = b 𝑏 𝑛 =𝑎 , a ∈ ; n ∈ ℕ e n ≥ 1; b ∈ b é a raiz enésima de a em que: 𝑛 𝑎 é o símbolo que indica a operação radiciação e é chamado radical. a é um número real chamado radicando. b é um número real, resultado dessa operação, chamado raiz aritmética. Em particular, se a < 0, 𝑛 𝑎 ∉ ℝ, quando n for par. Vamos considerar dois casos: 1º caso: n é par Para qualquer a ∈ ℝ , temos 𝑛 𝑎 𝑛 = |a| 2° caso: n é ímpar 𝑛 𝑎 𝑛 = a, para qualquer a ∈ ℝ Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

8 Capítulo 5 – função exponencial
PROPRIEDADES Considerando a e b reais não negativos, m inteiro, n e p naturais não nulos, temos as seguintes propriedades: I. II. V. VI. III. IV. Exemplo: Professor, se dispuser de tempo e condições, seria interessante dar exemplos numéricos dessas propriedades. = = = = Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

9 Capítulo 5 – função exponencial
a ∈ ℝ, a > 0 e a ≠ 1 f: ℝ→ , f(x) = 𝑎 𝑥 é denominada de função exponencial de base a, para todo x real. Gráfico da função exponencial Professor, a função f(x) = m ⋅ 𝑎^𝑥 + b é do tipo exponencial. Comente com seus alunos que o gráfico da função exponencial sempre passa pelo ponto (0, 1). D(f) = ℝ; CD(f) = ; Im(f) = Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

10 Capítulo 5 – função exponencial
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS São aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes São equações exponenciais: Resolução de equações exponenciais simples Exemplo: S = {5} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

11 Capítulo 5 – função exponencial
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Desigualdades como as seguintes são chamadas inequações exponenciais. a) 3 𝑥 −1 ≥ 27 b) 25 𝑥 < 25 c) 8 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 Resolução de uma inequação exponencial 𝑎 𝑥 1 < 𝑎 𝑥 𝑥 1 < 𝑥 2 , para 𝑎 > 0 𝑎 𝑥 1 > 𝑎 𝑥 𝑥 1 < 𝑥 2 , para 0<𝑎 < 1 Exemplo: S = {x ∈ℝ| −1 < x < 2} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

12 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO DE UM NÚMERO Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se b = 𝑎 𝑐 , então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a. Podemos representar essa definição em símbolos: , com a e b positivos e a ≠ 1. Professor, comente com seus alunos que os logaritmos auxiliam na resolução de equações exponenciais onde há dificuldade em igualar as bases. Condição de existência dos logaritmos existe quando, e somente quando, Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

13 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO 1ª) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 1 = 0, pois 𝑎 0 = 1, para todo 𝑎>0 e 𝑎≠1 2ª) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎 1 = 𝑎, para todo 𝑎>0 e 𝑎≠1 3ª) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 𝑛 = n, pois 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 , para todo 𝑎>0 e 𝑎≠1 e para todo n ∈ℝ 4ª) 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑁 = N ,com N > 0 e 𝑎>0 e 𝑎≠1 5ª) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 x = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 y x = y, com x > 0 e 𝑎>0 e 𝑎≠1 Justificativa: Justificativa: Se 𝑙𝑜𝑔 𝑎 x = 𝑟 e 𝑙𝑜𝑔 𝑎 y = 𝑠, isto é 𝑎 𝑟 = x e 𝑎 𝑠 = y, temos: x = y 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠 𝑟 = 𝑠 𝑙𝑜𝑔 𝑎 x = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 y 𝑙𝑜𝑔 𝑎 x = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 y 𝑟 = 𝑠 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠 x = y 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑁 = x 𝑎 𝑥 = N Substituindo x: 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑁 = 𝑎 𝑥 = N Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

14 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS Para a, M e N números reais positivos e a ≠ 1, temos: Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números. Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses números. Em uma mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Mudança de base do logaritmo Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

15 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
CÁLCULO DE LOGARITMOS Em Química, define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de (ion hidroxônio). O cérebro humano contém um líquido cuja concentração é mol/L (em média). Qual será o pH desse líquido? Vejamos: Portanto, pH = 8 − Professor, se possível conclua esse exercício, dado que log2 ≅ 0,301 e log3 ≅ 0,47 Para logaritmos como esse, existem três formas de cálculo: Com o auxílio da calculadora; Com a aplicação de tabelas de valores (tabelas de logaritmos); Por meio de alguns logaritmos dados. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

16 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A inversa da função exponencial de base a é a função que associa a cada número real positivo x o número real chamado de logaritmo de x na base a, com a real positivo e a ≠ 1. São exemplos de funções logarítmicas: Professor, comente a base e de um logaritmo. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

17 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA: Quando a > 1, a função logarítmica é crescente. x1 < x2 ⇔ 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 1 < 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 2 Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente. x1 < x2 ⇔ 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 1 > 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 2 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

18 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
UMA RELAÇÃO IMPORTANTE Observe os gráficos das funções inversas f(x) = ax e g(x) = loga x: a) a > b) 0 < a < 1 Observação: No gráfico do item a, a função exponencial cresce rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

19 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS As equações logarítmicas são aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo. Exemplos: a) b) c) d) Vejamos agora como resolver a equação Condição de existência: x − 1 > 0 e x − 1 ≠ 1 ⟹ x > 1 e x ≠ 2 Resolução: (x −1)2 = 9 ⟹ x − 1 = 3 ou x − 1 = − 3 ⟹ x = 4 ou x = − 2 (Não satisfaz a condição de existência). ∴ S = {4} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

20 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Para resolver as inequações logarítmicas, devemos lembrar que: (x1 < x2 ⇔ ), se a > 0 (x1 < x2 ⇔ ), se 0 < a < 1 Exemplo: Resolva a inequação logarítmica: Condição de existência: x + 1 > 0 ⟹ x > − 1 (I) Resolução: ⟹ x + 1 > 6 ⟹ x > 5 (II) Quadro de resolução: S = x ∈ ℝ| x > 5} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre

21 CAPÍTULO 6 – LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
UMA APLICAÇÃO DE LOGARITMOS Audição e logaritmo O nível de intensidade sonora (IdB) é uma grandeza medida em decibéis (dB). A IdB é igual a 10 vezes o logaritmo decimal da razão entre duas quantidades de energia. A primeira delas é a intensidade sonora (I) e a segunda é uma constante I0 = 10−12 W/m2. O cálculo do nível de uma intensidade sonora é dado pela fórmula: Medidor de intensidade sonora indicando 75,7 decibéis. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 3º Bimestre