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Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.
Exemplos: 3x =81 (a solução é x=4) 2x-5=16 (a solução é x=9) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
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Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:
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1) Determine o valor de x em cada caso: a) 2x = 8 b) 3x = 81 c) 5x = 125 d) 4x = 16 e) 2x =64 f) 55x = 55 g) 10x = h) 150x = 1
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2) Calcule o valor de x em cada caso: a) 3x + 2 = 27 b) 2x + 3 = 32 c) 5x - 2 = 125 d) 4x = 64
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FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
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GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Temos 2 casos a considerar: quando a > 1; quando 0 < a < 1.
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1º CASO y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 1 2 y 1/4 1/2 4
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2º CASO: y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0 < a < 1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x -2 -1 1 2 y 4 1/2 1/4
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Nos dois exemplos, podemos observar que
o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
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a>1 0<a<1 f(x) é crescente f(x) é decrescente
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Assinale a única afirmação correta: a) 0,212 > 0,213 b) 0,210,21 > 0,210,20 c) 0,217 < 0,218 d) 0,214 > 0,213 e) 0,21-2 < 1
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A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira.
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1) Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza.
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Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei: na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, determine o número de bactérias depois de 8 horas.
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(PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:
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2) A decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. A chamada meia vida de uma substância é o tempo necessário para que ela reduza a sua massa pela metade. Eis aqui outro caso de aplicação das funções exponenciais.
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Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S ,25t em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?
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(Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.
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3) O sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial
3) O sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial. O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação .
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Considere um capital de R$ 10
Considere um capital de R$ aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação?
