Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Apresentação em tema: "Introdução aos Sistemas Dinâmicos"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Sistemas Dinâmicos
Ensino Superior Introdução aos Sistemas Dinâmicos 3.1 – Transformada Inversa de Laplace Amintas Paiva Afonso

2 Definição L L Transformada de Laplace:
Transformada Inversa de Laplace: L p/ t > 0

3 Transformada Inversa de Laplace
Normalmente, não se utiliza a integral de inversão de Laplace, mas simplesmente a consulta a tabelas existentes. - Devemos adequar a função F(s) para a consulta à tabela. Para tanto, utilizamos o Método de Expansão em Frações Parciais.

4 Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais: Devemos escrever a função F(s) como uma função de dois polinômios em s: Devemos também fazer com que a maior potência de s em B(s) seja menor que a maior potência de s em A(s). Caso contrário, devemos dividir B(s) por A(s) até conseguir:

5 Transformada Inversa de Laplace
Finalmente, reescrevemos a função F(s) como uma soma de termos menores: Cuja transformada inversa será: Temos duas situações para F(s). Ela pode ter pólos distintos ou pólos múltiplos de ordem n. Vamos ver como resolver F(s) em cada caso.

6 Transformada Inversa de Laplace
Expansão em frações parciais quando F(s) envolve pólos distintos: Para m < n e k se refere ao ganho da função. Devemos reescrever F(s) como: Onde as constantes a1, a2, ..., an são chamadas de resíduos de cada pólo.

7 Transformada Inversa de Laplace
Para determinar o valor de cada resíduo, fazemos: Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte função de transferência:

8 Transformada Inversa de Laplace
Resolução: Expansão em Frações Parciais: Determinação de a1 e a2:

9 Transformada Inversa de Laplace
Portanto, a função expandida em frações parciais será: Consultando a tabela, f(t) será: para t >= 0

10 Transformada Inversa de Laplace
Expansão em frações parciais quando F(s) inclui pólos múltiplos: Neste caso, vamos fazer a análise através de um exemplo: A expansão em frações parciais neste caso será feita assim:

11 Transformada Inversa de Laplace
Para determinação de b1, b2 e b3, primeira-mente vamos multiplicar ambos os lados da equação por (s+1)3: (1) Se fizermos s=-1 na equação (1), teremos: (2) Agora, ao derivarmos ambos os lados da equação (1) em relação a s, obteremos: (3)

12 Transformada Inversa de Laplace
Se fizermos s=-1 na equação (3), teremos: (4) Se derivarmos a equação (3) novamente em s, obteremos: (5)

13 Resolvendo as equações (2), (4) e (5):

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Com isso, F(s) fica: Consultando a tabela, teremos:

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