Sistemas no Espaço de Estados

Apresentação em tema: "Sistemas no Espaço de Estados"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas no Espaço de Estados
Controle Dinâmico

2 Lista de Exercícios (Ogata 4ed )
Modelagem: B.3.9 a B.3.12, B.3.15 Controlabilidade e Observabilidade: B Projeto no Espaço de Estados: B.12.1, 2, 3, 5, 6 e 8

3 Representação de um sistema no espaço de estados
Sistema causal

4 Representação em espaços de Estados
equação dinâmica: com pode ser escrita como

5 Forma canônica controlável

6 Forma canônica controlável
representação em diagrama de blocos

7 Forma canônica observável
Transpondo a forma canônica controlável

8 Forma canônica observável

9 Forma canônica diagonal
Se a função de transferência G(s) tem raízes distintas

10 Forma canônica diagonal

11 Exemplo: Formas canônicas
Considere um sistema definido pela equação dinâmica: Obter realizações no espaço de estado nas formas: Canônica controlável Canônica observável Canônica diagonal

12 Exemplo: Formas canônicas
A partir de Ou de Por inspeção obtemos diretamente a forma canônica controlável:

13 Exemplo: Formas canônicas
Transpondo a forma canônica controlável, obtemos a forma canônica observável

14 Exemplo: Formas canônicas
expandindo G(s) em frações parciais:

15 Exemplo: Formas canônicas
Obtemos a forma diagonal

16 Não unicidade A realização no espaço de estados não é única:

17 Note que no entanto, o polinômio característico não muda

18 Teorema de Cayley-Hamilton
Toda matriz A satisfaz a sua própria equação característica Se então

19 Controlabilidade Definição O sistema
é dito de estado completamente controlável se para qualquer estado inicial , e qualquer estado existe uma entrada que transfere x0 para x1 em um intervalo de tempo finito. Caso contrário o sistema é dito não-controlável.

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23 Exemplo Em que condições para k1, k2, b1 e b2 a posição (x1,x2) da plataforma não é controlável?

24 Solução

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26 Exercício Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

27 Resposta_Exercício Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

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29 Observabilidade Se o estado inicial pode ser determinado, com o conhecimento de u(t) podemos reconstruir/deduzir toda a trajetória x(t).

30 Observabilidade

31 Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
Sabemos que a solução geral de É da forma conhecido desconhecido medido

32 Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
Como observação de x0 fazemos Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se

33 Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
Derivando

34 Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se Ou seja, devemos ter posto coluna pleno Pelo Teorema de Cayley Hamilton precisamos apenas considerar até k=n-1

35 Exemplo Conhecendo-se a entrada u(t) e medindo-se a saída y(t) por um período de tempo suficiente, pode-se determinar o valor de x2(0)?

36 Solução Sistema observável

37 Exercício