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PublicouArthur Teixeira Frade Alterado mais de 8 anos atrás
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1 Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Caixa Postal 4386 CEP 70.919-970, Brasília - DF Homepage: http://www.redes.unb.br/lasp Processamento de Sinais Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (52) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Objetivo: Encontrar um modelo que se adeque melhor aos dados – Família de modelos: família parametrizada de funções densidade de probabilidade Parâmetros do modelo Matriz de dados – A fim de se encontrar o melhor modelo, a seguinte expressão deve ser minimizada variando-se a ordem do modelo: Graus de liberdade ou número de parâmetros livres Logarítmo da função verossimilhança
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (53) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Matriz de covariância para ordem do modelo k onde – Aplicando a EVD na matriz de covariância onde Note que: –. Além disso, devido a matriz de mistura, para Posto k
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (54) Critério de Informação de Akaike (AIC)
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (55) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Assumindo N amostras temporais gaussianas i.i.d. ordem do modelo igual a k
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (56) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Aplicando o logarítmo na função verossimilhança: – Removendo o termo constante: – O traço tr{ } de um escalar é o próprio escalar.
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (57) Critério de Informação de Akaike (AIC) – O operador traço permite a comutação dos elementos no argumento. – A soma dos traços é a traço da soma. – Definição da matriz de covariância das amostras:
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (58) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Os autovalores da matriz são dados por. – Como, o segundo termo da expressão é aproximadamente constante.
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (59) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Após remover o segundo termo constante, tem-se que: – Substituindo pelos autovalores: – Adicionando constante na expressão:
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (60) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Autovalores de ruído: – Expressão final do logarítmo da máxima verossimilhança:
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (61) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Cálculo dos graus de liberdade: k autovetores de tamanho M com elementos complexos: k autovalores reais : Autovetores são unitários: Autovetores são ortogonais:
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (62) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Expressão AIC usando autovalores apenas: Premissa não realística: Apesar do AIC ser simples e funcionar em várias aplicações, ele assume o comportamento assintótico dos autovalores de ruído.
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (63) Critério de Informação de Akaike (AIC) – Expressão AIC usando autovalores apenas:
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (64) Exponential Fitting Test (EFT)
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (65) Exponential Fitting Test (EFT) Os autovalores de ruído branco exibem um perfil exponencial. Por meio da previsão do perfil dos autovalores encontra-se “o ponto de quebra” Seja P a quantidade de autovalores de ruído. Escolha o maior P tal que os autovalores de ruído se ajustem no decaimento exponencial. d = 3, M = 8, SNR = 20 dB, N = 10
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Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (66) TécnicaClassificaçãoCenário Ruído Gaussiano Superou a(s) técnica(s) EDC 1986Autovalores - BrancoAIC, MDL ESTER 2004Subespaço M = 128; N = 128 Branco/ Colorido EDC, AIC, MDL RADOI 2004Autovalores M = 4; N = 16 Branco/ Colorido Greschgörin Disk Estimator (GDE), AIC, MDL EFT 2007Autovalores M = 5; N = 6 BrancoAIC, MDL, MDLB, PDL SAMOS 2007Subespaço M = 65; N = 65 Branco/ Colorido ESTER NEMO 2008Autovalores N = 8*M (vários) ColoridoAIC, MDL
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17 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (67)
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18 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (68)
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19 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (69)
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20 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (70)
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21 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (71)
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22 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (72)
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23 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (73)
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24 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (74)
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25 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (75)
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26 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (76)
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27 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (77)
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28 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (78)
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29 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (79)
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30 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (80)
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31 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (81)
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32 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (82)
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33 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (83)
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34 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (84)
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35 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (85)
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36 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (86)
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37 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (87)
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38 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (88)
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39 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (89)
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40 Seleção da Ordem do Modelo Processamento de Sinais em Alta Resolução (90)
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (91) Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Duas matrizes de covariância não normalizadas: linhas e colunas
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (92) Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – EVD das duas matrizes de covariância não normalizadas – Assumindo M < N, então é posto deficiente. Além disso:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (93) Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Usando os subespaço das linhas e das colunas calcula-se a SVD: onde – Substituindo a matriz de dados da SVD na definição da matriz de covariância tem-se:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (94) Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Como: – Então:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (95) Decomposição em Valores Singulares Os quatro subespaços dos dados – Subespaço das colunas: Composto de subespaço dos sinais e do ruído: – Subespaço das linhas: Composto de subespaço dos sinais e do ruído:
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46 Processamento de Sinais em Alta Resolução (96) “SVD completa” “SVD econômica” Aproximação de posto inferior Decomposição em Valores Singulares Aproximação de posto inferior
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (97) Decomposição em Valores Singulares Aproximação de posto inferior – Antes de fazer a aproximação a ordem do modelo precisa ser conhecida. Exemplo: AIC, EFT e outras técnicas – Após a aproximação de posto inferior, o ruído é removido. Este processo é conhecido como “denoising”. Filtragem baseada na ortogonalidade entre o subespaço de sinal e o subespaço de ruído.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (99) Filtro de autovetor Não necessita informação sobre a aplicação para encontrar o vetor. Assume-se que o sinal e o ruído são descorrelacionados. A potência de saída do arranjo de antenas é dada por: A potência no caso de haver apenas ruído é dada por: Logo, o SNR é dado por:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (100) Filtro de autovetor O filtro desejado deve satisfazer: Logo, o SNR é dado por: A SNR é maximizada quando o filtro for igual ao autovetor correspondente ao maior autovalor.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (101) Multiple Signal Classification (MUSIC) Com a ordem do modelo conhecida e aplicando a EVD, é possível se obter o subespaço de ruído. onde A densidade espacial de potência do MUSIC é dada por:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (102) Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT) DS, CAPON e MUSIC pode ser também estimada por meio da densidade espacial de potência (SPD). -Em geral, a estimação de DOA pela SPD requer uma grande complexidade através de buscas por máximos da SPD. Logo, pode-se encontrar a DOA através do ESPRIT. ESPRIT: é uma técnica fechada que não depende de buscas.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (103) Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT) Equação de invariância ao deslocamento d onde J 1 e J 2 são as matrizes de seleção.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (104) Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT) A matriz diretora A e os d autovetores de E correspondentes aos d maiores autovalores da matriz de covariância geram o mesmo subespaço. Note que E s é obtida com a aproximação de posto inferior. Aplica-se novamente a decomposição em autovalores:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (105) Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS) Exemplo para o caso de uma fonte - Resposta do arranjo completo
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (106) Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS) Exemplo para o caso de uma fonte - Selecionando os (M – 1) primeiros sensores e os (M – 1) úiltimos sensores:
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (107) Suavizamento espacial – Spatial Smoothing (SS) Exemplo para o caso de uma fonte - Concatenando as matrizes X 1 e X 2, tem-se: - O SS pode ser aplicado em mais sensores aumentando o número de colunas da matriz. - O SS é recomendável em casos em que a matriz A varia rapidamente com o tempo implicando que a matriz A é apenas constante para poucos snapshots.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (108) Forward Backward Averaging Após o FBA, o número de amostras é virtualmente duplicado: O FBA só pode ser aplicado para arranjos centro-simétricos e é dado pela seguinte expressão: onde.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (109) Forward Backward Averaging Exemplo para o caso de duas fontes e sem ruído: Aplicando as matrizes e :
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (110) Forward Backward Averaging Colocando escalares em evidência obtém-se: Colocando a matriz diretora em evidência: Verifica-se que após o FBA, a matriz diretora permanece a mesma.
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (111) Estimação dos sinais recebidos através da pseudo- inversa Sendo estimadas a ordem do modelo e as frequências espaciais, pode-se reconstruir a matriz diretora estimada: Dada a matriz e dada a matriz, deseja-se
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Processamento de Sinais em Alta Resolução (112) Estimação dos sinais recebidos através da pseudo- inversa A matriz pseudo-inversa é definida como: Note que o cálculo da pseudo-inversa é apenas possível se d < M.
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