Formulação Variacional para vigas

Apresentação em tema: "Formulação Variacional para vigas"— Transcrição da apresentação:

1 Formulação Variacional para vigas

2 Viga : o comprimento é bem maior que
as dimensões da seção transversal. Interesse no estudo de vigas: reside em ações de movimento chamadas ações de flexão, ou seja, deslocamentos transversais na direção do eixo y associados a rotações das seções transversais em torno do eixo z.

3 Dois modelos: Euler-Bernoulli e Timoshenko.
Diferença Euler-Bernoulli não considera a deformação de cisalhamento presente nas seções transversais, ao passo que o modelo de Timoshenko irá considerar tal deformação.

4 Eixos de referência para uma viga
Definição da Cinemática Hipóteses: seções permanecem planas, indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal x da viga ( como em barra)

5 Em cada seção ocorrerá um deslocamento vertical v(x) e uma rotação em z, que só dependem da coordenada x. Devido a esse deslocamento, ocorrerá também um deslocamento axial u(x), não existindo um deslocamento na direção z. Δu = deslocamento na direção x Δv= deslocamento na direção y Estes deslocamentos estão expressos na figura.

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7 Coloque um referencial no ponto escolhido
P`=(0, y,0) P”= (-Δx, y-Δv, 0) Logo o deslocamento será dado por P”-P Δu = -Δx tgα = Δx/ y-Δv = -Δu/ y-Δv = -u(x)/ y-Δv no triângulo maior tgα = Δv/Δx no triangulo menor.

8 Logo, igualando as duas equações temos que:
Δv/Δx = -u(x)/ y-Δv U(x)= -y (Δv/Δx) + (Δv*Δv/Δx) Mas Δv*Δv/Δx é desprezível para Δv pequeno. Aplicando-se o limite para Δx tendendo a zero teremos u(x) = -y (dv(x)/d(x))

9 Sendo assim, é possível definir o campo vetorial u(x), que descreve o deslocamento de uma viga.
Portanto, a cinemática (V) para uma viga será definida como V={u I u1= -y*dv(x)/dx , u2 = v(x), u3=0}

10 Rotação para a viga sob a ação de um momento fletor positivo
dv(x)/dx = θz(x) >0

11 Análise da Deformação Assim como ocorre em barras, existe uma deformação específica longitudinal, dada por εxx. No caso de barra, εxx=du(x)/dx Foi demonstrado que u(x)= -ydx(x)/dx Logo a deformação em vigas será dada por εxx.= - y*dv2(x)/dx2

12 Para a componente em y da deformação, temos um caso análogo ao da barra, onde o operador que relaciona a cinemática à deformação é a derivada de primeira ordem. εyy=dv(x)/dx Se toda a seção sofrer a mesma variação transversal v(x), εyy será 0, como se pode comprovar. Só existirá translação do corpo.

13 Movimento de corpos rígidos
Já analisamos o caso de εyy para v(x) = cte. Vamos analisar agora para εXX. Sabemos que εxx= - y*dv2(x)/dx2 Para um corpo rígido a deformação longitudinal será 0 e portanto teremos que - y*dv2(x)/dx2 = 0 , o que implica em dv(x)/dx = cte.

14 θz(x) = dv(x)/dx = cte . Todo o corpo sofre a mesma rotação em z.
O subconjunto dos movimentos rígidos pode ser definido como :

15 Potência Interna Devemos lembrar que a potência interna relaciona os esforços internos (estado de tensão) com as deformações. Como desconsidera-se a tensão de cisalhamento, a única componente de deformação será εXX. Sendo assim, a Potência Interna será dada por:

16 Lembre-se que o sinal negativo é uma mera convenção.
Substituindo a deformação εXX, teremos: E abrindo a integral de volume em termos do comprimento e da área.

17 Denominaremos a integral entre parênteses de momento fletor Mz
Essa integral pode ser escrita como

18 A Potência Interna em termos de momento ficaria sendo:
Integra-se duas vezes por partes:

19 Observe que Lembrando que θz(x) = dv(x)/dx , temos: Expandido temos que

20 Aplicação do PPV Sabemos que para o equilíbrio, Pi = Pe. Logo: Logo, deverá haver o seguinte correlação

21 Caracterização dos Esforços Externos
Observando a expressão final para potência interna, observamos que deve existir uma densidade de força distribuída, além de forças cortantes e momentos fletores em ambas as extremidades, para que o corpo permaneça em equilíbrio. Vo, VL Forças Cortantes nas extremidades Mo, ML Momentos Fletores nas extremidades q(x)  carregamento transversal distribuído

22 Substituindo esses esforços na equação do PPV e rearranjando teremos:
O que implica em:

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24 Exercício Prático 1 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

25 Exercício Prático 2 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

26 Sabemos que σxx = E εxx e que substituindo a deformação teremos
Aplicação da Equação Construtiva Sabemos que σxx = E εxx e que substituindo a deformação teremos Sendo o momento fletor dado por

27 Pode-se fazer a substituição e se obter
A integral representa o momento de inércia de área. Sendo assim, teremos que

28 Substituindo essa equação na equação básica para viga obtida por formulação variacional, teremos que: 1a Integral Força Cortante 2a Integral Momento Fletor 3a Integral Rotação em relação a z 4a Integral Flecha da viga

29 As restrições cinemáticas ( espaço Kinv )

30 Relação extremamente importantes

31 Convenções de Sinais para Forças e Momentos.

32 A linha que passa pelo centróide da viga e determina um estado nulo de tensão é chamada de linha neutra.

33 Dimensionamento de Viga
Determinar dimensões para que a viga permaneça na fase elástica. Determinar os diagramas pela equação diferencial. Determinar Mzmax pelo diagrama e a coordenada ymax Aplicar a expressão

34 Wz = Módulo de resistência a flexão
Wz = Iz/ymax Dimensionamento calcula-se Iz e depois determina-se a seção. Retângulo Iz = (b*h3)/12 Seção Circular = (π *d3/64) Perfil I : Calcular o momento de Inércia Verificação da viga 

35 Exercício Prático 1: Determinar as equações de força cortante, momento, rotação e flecha para a viga da figura abaixo. Q0 =100N/m 200N/m L , Iz 100N

36 Exercício Prático 2: Determinar a) equações de força cortante, momento, rotação e flecha b) reações de apoio c)dimensão mínima B para que os requisitos de tensão e flecha sejam respeitados. σ= 200N/mm2 E=2x106N/mm2, q0 = N/m, L= 5m, vmax= L/1000 , viga com formato Bx3B. Redimensione para uma seção circular.

37 Exercício Prático 3: Considerações sobre vigas com ou sem rótulas
Exercício Prático 3: Considerações sobre vigas com ou sem rótulas. Viga bi-engastada com carregamento distribuído qo. A primeira viga não possui rótula e a segunda possui na distancia L/2. (Olhar 6.4 na apostila)