Hidrodinâmica Aula 04 (1 0 Sem./2016) 1. A função escoamento para fluxos bidimensionais A) Velocidade para um fluxo bidimensional em componentes cartesianas.

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1 Hidrodinâmica Aula 04 (1 0 Sem./2016) 1

2 A função escoamento para fluxos bidimensionais A) Velocidade para um fluxo bidimensional em componentes cartesianas e cilíndricas: 2 (Análise Vetorial, Hwei P. Hsu, LTC) Atenção: usamos  em lugar de  e r em lugar de 

3 Nota: 3 Atenção: usamos  em lugar de  e r em lugar de  (Análise Vetorial, Hwei P. Hsu, LTC)

4 B) A velocidade para um fluxo com simetria axial em componentes cilíndricas. Podemos contemplar dois casos: 4 Transição laminar – turbulento Caso (b): Um forma prática de se induzir um fluxo com simetria axial.

5 Em ambos os exemplos temos apenas duas componentes de velocidade. Vamos assumir que os fluido são incompressíveis. A equação da divergência é satisfeita se, A função  (x,y) é denominada Função de Escoamento. 5 (4.1)

6 6 Podemos calcular  (x,y) a partir das equações (4.1): onde  (x) e uma função qualquer de x e b uma constante arbitrária. Então, Usando a equação da continuidade na forma, podemos escrever,(4.2)

7 7 A equação (4.2) pode ser integrada para dar, Comparando (4.3) com (4.1) concluímos que, Assim, a função escoamento  (x,y), que satisfaz as equações (4.1), pode ser calculada através da equação, sendo a e b duas constantes arbitrárias. (4.3)

8 8 Esses resultados podem ser colocados num a forma vetorial. Definimos o vetor, Podemos escrever: Exercício: mostre que, O vetor A é chamado vetor potencial.

9 9 A função escoamento  (x,y) se relaciona com as linhas de escoamento. - O versor k é perpendicular ao plano do eslaide; do Cálculo, sabemos que o grad(  ) é perpendicular às curvas  (x,y) = cte (à superfícies, se pensamos em três dimensões); - Da relação acima sabemos que V é perpendicular ao grad(  ); devemos concluir que V é tangente à curva  (x,y) = cte. - Conclusão: as curvas  (x,y) = cte são curvas de escoamento!

10 10 Considere duas curvas de escoamento de um dado fluxo bidimensional,  = a e  = b. Considere o fluxo através do retângulo ABCD, de lado AB = CD = 1. O teorema de Stokes estabelece que, A partir do Teorema de Stokes, podemos estabelecer que, É importante atentar para o sentido da circulação (dl) e a orientação do versor normal à superfície (ds).

11 11 Portanto, concluímos que o fluxo da velocidade sobre a superfície ABCD, por unidade de comprimento, é: Conclusão: o fluxo entre as curvas de escoamento  = a e  = b é pois b – a por unidade de comprimento. Conseqüentemente, se as linhas de escoamento são próximas o fluxo deve ser alto e o contrário se dá se as linhas são afastadas. Por sua vez, as linhas não podem se cruzar a não ser numa singularidade.

12 12 Algumas funções escoamento básicas 1. Fluxo uniforme paralelo ao eixo – x: e assim temos, Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Não é necessário uma constante de integração aqui.

13 13 2. Fluxo paralelo ao eixo – x com velocidade proporcional à distância ao eixo-x: e assim temos, Um fluxo como esse é um modelo simples para representar o movimento do ar (vento) próximo ao chão.

14 14 3. Fluxo radialmente centrífugo (centrípeto): Neste caso é mais simples trabalhar com coordenadas cilíndricas (polares).  /  não pode depender de  (4.4) (4.5)  não depende de r

15 15 Exercício: - Mostre que para esse fluxo .V = 0,exceto na origem; - Mostre que a vazão que passa por um círculo de raio r, com centro na origem, é igual a 2  B. Esse vazão é chamada intensidade da fonte. Se substituímos a solução (4.5) em (4.4) encontramos as seguintes componentes de velocidade: Vemos assim que f(r) não pode ser qualquer para o caso de um fluxo incompressível.

16 16 4. Fluxo em círculo ou fluxo circular: As duas funções principais que possuem aplicações importantes são: Isto é,  depende apenas de r!

17 17 Para f(r) = D.r temos um fluxo tipo rotação de corpo rígido: Todos os ponto do fluxo giram com a mesma velocidade angular, daí o nome fluxo tipo corpo rígido,

18 18 Por sua vez, o fluxo para f(r) = C / r é denominado linha de vortex. Nesse caso temos uma singularidade na origem, e portanto, esses fluxos não podem realmente existir, mas existem vários fluxos reais que podem ser aproximados pela linha de vortex desde que não seja considerado as regiões para pequenos valores de r. onde a é uma constante. Exercícios: - deduza a relação acima para  (r,  ); - mostre que nos dois casos estudados o escoamento é incompressível; - determine a vorticidade para os dois casos.

19 19 Exercícios (cont.): - Mostre que a assim chamada circulação da linha de vortex,tal como definida na relação (4.6), (4.6) é dada por,

20 20 5. O fluxo dipolar: um dipolo ao longo do eixo – x. Fonte (+) :  (r,  ) = B.  Sorvedouro (-) :  (r,  ) = -B.  O fluxo dipolar pode ser entendido como a aproximação no espaço de uma fonte de fluido e um sorvedouro de fluido. Esses dois pontos representam singularidades no plano de escoamento. Podemos usar o resultado obtido anteriormente para as linhas de escoamento.

21 21 (4.7b) (4.7a)

22 22 Exercício: a partir de (4.7a) deduza a relação (4.7b) A relação 4.7b pode ser generalizada para Exercício: verifique a relação: Momento de dipolo generalizado

23 23 Gráfico construído com o Maple 12

24 24 6. Combinação, ou superposição, de modelos de fluxo: método das imagens É possível combinar e ajustar modelos simples de fluxos para representar outros fluxos mais complexos de interesse prático. (i)Para valores grandes de r domina o escoamento uniforme:   U.r.sen  ; (ii)Para valores pequenos de domina o escoamento dipolar:   - .sen  /r; (iii)A linha de escoamento  = 0 corresponde a um círculo: U.r.sen  = . sen  /r  r = (  /U) 1/2 = cte. (eq. de um círculo em coordenadas polares) Exemplo: fluxo em torno de um cilindro.

25 25 Gráfico construído com o Maple 12 Se nos abstraímos da região interna ao círculo (  = 0) a representação ao lado corresponde ao fluxo em torno de um cilindro paralelo ao eixo – z de raio R = 2, de um fluido sem viscosidade. Linhas próximas: região de velocidade alta.

26 26 Na medida em que nos afastamos do cilindro a velocidade se torna quase uniforme.

27 A função escoamento de Stokes para fluxos incompressíveis com simetria axial 27 (4.8) Exercício: mostre que a relação (4.8) é correta. A solução para (4.8) pode ser escrita como: Usamos a  (psi maiúscula) para ressaltar a diferença. Neste caso, a função é chamada de Função Escoamento de Stokes

28 28 De uma forma análoga ao caso da função escoamento  (x,y), a função de Stokes pode ser determinada através da relação: e a forma do potencial vetor A(r,z) é (coordenadas cilíndricas),

29 29 O exemplo do escoamento uniforme paralelo ao eixo – z usando a função de Stokes: onde assumimos, por simplicidade, que em r = 0,  = 0. Se o escoamento é não uniforme, com U sendo uma função de r, isto é, U(r), mostre que,

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