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Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos 6.1 - Equações de Euler 6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente 6.3 – Equação.

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1 Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos Equações de Euler Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente 6.3 – Equação de Bernoulli 6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli 6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente 6.6 – Escoamento irrotacional

2 6.1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito Equações de Euler :

3 Se a coordenada z for orientada verticalmente:

4 Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:

5 6.2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente

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7 Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa: Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:

8 6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente: Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds: variação de pressão ao longo de s variação de elevação ao longo de s variação de velocidade ao longo de s

9 (ao longo de s) Para massa específica constante (escoamento incompressível) : Restrições:(1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Escoamento sem atrito (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente

10 Dedução com o uso de coordenadas retangulares (Regime permanente) (Distância ao longo de uma linha de corrente) Sendo tem-se:

11 fica : Expressão obtido no cálculo vetorial: E, uma vez que é paralelo a,

12 – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica Pressão de estagnação : (Escoamento incompressível) Pressão dinâmica : Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica

13 Medição de pressão estática Tomada de pressão na parede Pequenos orifícios Sonda de pressão no escoamento Medição de pressão de estagnação Tubo de Pitot Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação

14 Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado. O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio. Problema exemplo: Determinar: A velocidade do escoamento

15 Determinar: p 1 - p atm Aplicações Bocal (com ar)

16 Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre) (b) pressão no ponto A do escoamento Sifão (com água)

17 A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.

18 6.4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli Fazendo : Considerando regime permanente : Para um tubo de corrente:

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21 Processos reversíveis (isoentrópico) ideais: Processos irreversíveis reais: Escoamento ideal sem perdas (eq. de Bernoulli) Escoamento real

22 Eq. de Bernoulli altura de carga devido a pressão estática local altura de carga devido a elevação (ou cota) altura de carga devido a pressão dinâmica altura de carga total do escoamento

23 Conceito de linha de energia e linha piezométrica linha piezométrica: representa a soma das alturas de carga de pressão estática e de elevação.

24 6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente

25 6.6 – Escoamento irrotacional Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação Coordenadas cilíndricas:

26 6.6.2 – Potencial de Velocidade Pode-se formular uma relação chamada função potencial,, para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde é uma função escalar: Define-se função potencial, cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um: Em coordenadas cilíndricas :

27 6.6.3 – Função Corrente e Potencial de Velocidade Escoamento bidimensional, incompressível e invíscido : Função corrente:Potencial de velocidade: Condição de irrotacionalidade: Conservação da massa:

28 Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente: A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de constante) é dada por: Ao longo de uma linha de constante, d = 0 : A inclinação de uma linha potencial (uma linha de constante) é dada por:

29 Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento. Componentes u e v do escoamento: Se o escoamento é irrotacional z = 0. Condição de irrotacionalidade: escoamento é irrotacional

30 Definição de Potencial de velocidade: Componentes u e v do escoamento: como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:

31 6.6.4 – Escoamentos planos elementares =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento Uniforme: =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento tipo Fonte (a partir da origem): A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade

32 =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem): A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem): A origem é um ponto singular K é a intensidade do vórtice


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