2. FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS

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1 2. FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS
2.1. Introdução Basicamente os problemas podem ser resolvidos de duas maneiras diferentes: integral Solução  diferencial

2 A solução integral é uma solução global.
Exige uma extensão sobre a qual é feita a integração. Extensão  linha Ex: força de tensão superficial. Extensão  área Ex: força sobre uma superfície. Extensão  volume Ex: massa de um corpo. Extensão  massa Ex: quantidade de movimento.

3 Por sua vez, a solução diferencial é uma solução pontual.
Permite a obtenção de valores tais como: pressão, velocidade, massa específica, temperatura, etc. Em cada ponto do escoamento. Normalmente é uma solução mais trabalhosa.

4 2.2. As Três Leis Básicas As quantidades integrais de interesse fundamental na mecânica dos fluidos estão contidas em três leis básicas: conservação da massa, primeira lei da termodinâmica e segunda lei de Newton. Essas leis básicas são expressas usando a descrição lagrangiana em termos de um sistema de partículas. Sistema é um conjunto fixo de partículas materiais.

5 Conservação da massa: A massa de um sistema não muda com o tempo. y ms
x y z ms Sistema

6  Princípio de conservação da massa
 Mostra que a grandeza se conserva ao longo do escoamento

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8 A Primeira Lei da Termodinâmica:
Relaciona a transferência de calor, o trabalho e a variação da energia. Sistema A taxa de transferência de calor para um sistema menos a taxa à qual o sistema realiza trabalho é igual a taxa à qual a energia do sistema está mudando.  Princípio de conservação da energia

9  energia específica A energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela só pode mudar de forma.

10 A Segunda Lei de Newton:
Onde:  Quantidade de movimento linear.  Princípio de conservação da quantidade de movimento linear. A força resultante agindo no sistema é igual a taxa à qual a quantidade de movimento do sistema está alterando.

11 Equação do Momento da Quantidade de movimento:
x y z ms Sistema = 0  Quantidade de movimento angular.

12  Princípio de conservação da q.d.m. angular.

13 Com: Considerando: Nsis  grandeza extensiva do sistema (global).   grandeza intensiva correspondente (pontual). Com:

14 De uma maneira geral, os princípios de conservação podem ser expressos como:
Exemplo: Princípio da conservação da q.d.m. Com:

15 Figura 4.1 Exemplo de um sistema na mecânica dos fluidos
Em Fenômenos de Transporte (Mec-Flu) o interesse não é em relação a um “sistema de partículas”, mas sim a uma região do espaço. Volume de controle (VC)  região “fixa” do espaço (fixa em relação a um referencial) Ponto de vista de sistema  lagrangiano Figura 4.1 Exemplo de um sistema na mecânica dos fluidos

16 Ponto de vista de volume de controle  euleriano
(fixo) Figura 4.2 Exemplo de um VC fixo e de um sistema a) instante t; b) instante t + t Já que a descrição euleriana é a mais conveniente, há a necessidade de se estabelecer uma relação entre estes dois pontos de vista.

17 2.3. Transformação “Sistema” para “Volume de Controle”
O interesse está em se obter a taxa de variação temporal da propriedade extensiva Nsis, enquanto se acompanha o sistema, mas do ponto de vista de VC.  natural no ponto de vista de sistema mas quanto vale no ponto de vista de VC? De modo a responder, deve-se considerar a Figura 4.4, a qual é apresentada logo a após a seguinte ilustração.

18 Esquema para estabelecer a relação entre “sistema”
Instante t Instante t + t Sistema no tempo t + t. Sistema Volume de Controle No instante inicial, sistema e volume de controle coincidem. Esquema para estabelecer a relação entre “sistema” e “volume de controle”

19 Figura 4.4 O sistema e o volume de controle fixo
y z em relação a xyz. dA3 dA1 Figura 4.4 O sistema e o volume de controle fixo

20 Por definição: x y z em relação a xyz.

21 Entrada do VC. (A1)  > 90º  cos < 0 (-)  Saída do VC. (A3)  < 90º  cos > 0 (+) 

22 VC. fixo  A1 fixo (fluxo de N através da seção de entrada A1)
(fluxo de N através da seção de saída A3)

23 Portanto: (fluxo líquido de N através da superfície de controle - SC)

24 Finalmente:  Teorema de Transporte de Reynolds  taxa de variação da propriedade extensiva N no VC  fluxo líquido, da propriedade extensiva N, através da SC No caso de volume de controle indeformável,  = Cte. e:

25 2.3.1. Simplificação da transformação Sistema para Volume de Controle
Em se tratando de escoamento permanente, as propriedades e condições de escoamento não variam localmente, de modo que: ou, assim:

26 Figura 4.6 Escoamento entrando e saindo de um dispositivo
Para o caso de uma única entrada (A1) e uma única saída (A2), tal como o dispositivo da Figura 4.6, o TTR é ainda mais simplificado. Observe que: e, Do que resulta: Figura 4.6 Escoamento entrando e saindo de um dispositivo

27 Supondo propriedades uniformes em cada seção (Cte.), resulta:
Generalizando, para o caso de várias áreas de entrada e/ou saída,

28 2.4. Conservação de Massa Um sistema é constituído sempre pelas mesmas partículas; portanto sua massa permanece constante. Com N = msis sendo a grandeza extensiva, a grandeza intensiva correspondente passa a ser:

29 Considerando o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR),
Resulta: Para VC indeformável, vem:

30 Escoamento permanente:
= 0 portanto, Uma vez que: 1  (-) seção de entrada ( > 90º) Onde: 2  (+) seção de saída ( < 90º)

31 Portanto: Para escoamento incompressível,  = Cte.  vazão volumétrica.

32 Figura 4.7 Perfis de velocidades não uniformes
Caso em que a distribuição de velocidades não seja uniforme (V  Cte.), mas com a massa específica uniforme em cada seção. A solução é obtida com o valor médio da velocidade. Figura 4.7 Perfis de velocidades não uniformes Seja a equação da continuidade:

33 Já que a massa específica é uniforme em cada seção ( = Cte.),
Considerando o teorema do valor médio, resulta: Caso o escoamento seja incompressível,

34  fluxo de massa ou vazão em massa (kg/s)
 vazão volumétrica ou vazão (m3/s)

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36 Exemplo 4.1 Água flui a uma velocidade uniforme de 3 m/s para dentro de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm para 2 cm (Fig. E.4.1). Calcule a velocidade da água que sai pelo bocal e a vazão. Figura E4.1

37 Dados: Solução: V1 D1 D2 3 10 2 m/s cm 0,10 0,02 m
0,10 0,02 m Solução: É escolhido um volume de controle que esteja dentro do bocal, conforme mostrado (tracejado).

38 Água, portanto escoamento incompressível.
Considerando a Equação da continuidade, vem: Cálculo da vazão:

39 Exemplo 4.2 Água flui para dentro e fora de um aparelho, como mostrado na Fig. E.4.2a. Calcule a taxa de variação da massa de água (dm/dt) no aparelho. V1 = 9,20 m/s Q3 = 8,50 l/s 75 mm Figura E4.2a Dados: V1 D1 Q3 r 9,20 75 4,30 8,50 1000 m/s mm kg/s l/s kg/m3 0,075 0,0085 m m3/s

40 Solução: O volume de controle escolhido é mostrado na Figura E4.2b.
Saídas Entrada Figura E4.2b Da continuidade:

41 Rearranjando a equação e substituindo os valores, chega-se a:
A massa aumenta a uma taxa de 27,84 kg/s. O aparelho deve ter um material que absorva água.

42 Exemplo 4.3 Um escoamento uniforme aproxima-se de um cilindro, como mostra a Fig. E4.3a. A distribuição simétrica da velocidade na localização mostrada, à jusante na esteira do cilindro, é aproximada por: em que u(y) é dada em m/s e y, em metros. Determine a vazão em massa através da superfície AB, por metro de profundidade. Use  = 1,23 kg/m3. Figura E4.3a

43 Solução: Tomando ABCD como volume de controle (Figura E4.3b).
Entrada (-) Saídas (+) Figura E4.3b Em vista da simetria, não há escoamento pela superfície CD. Para escoamento permanente, a Eq. da continuidade fica:

44 O fluxo de massa ocorre através de três superfícies: AB, BC e AD.
Então: Lembre que um sinal negativo é sempre associado com o fluxo de entrada e um sinal positivo com o fluxo de saída.

45 Exemplo 4.4 Um balão está sendo preenchido com um suprimento de água de 0,6 m3/s (Fig. E4.4). Encontre a taxa de crescimento do raio, no instante em que R = 0,5 m. Figura E4.4 Solução: Pretende-se determinar dR/dt quando o raio R = 0,50 m. A taxa de crescimento dR/dt é igual a velocidade da água normal a parede do balão.

46 A Eq. da continuidade é escrita como:
Selecionando o volume de controle como sendo uma esfera de raio constante e igual a 0,50 m, pode-se calcular a velocidade da água na superfície, no instante mostrado, movendo-se radialmente para fora em R = 0,50 m. A Eq. da continuidade é escrita como: = 0  da água é Cte. A água transpõe duas áreas: A área de entrada A1, com velocidade V1 e a área do restante da superfície da esfera AR, com velocidade VR.

47 Supondo que A1 << AR, a Eq. da continuidade fica:
Q1 = A1V1 e, AR = 4R2, resulta: De modo que: Usou-se de um volume de controle fixo, permitindo que a superfície móvel do balão passasse por ele, no instante considerado.

48 Exemplo 4.5 Este exemplo mostra que pode existir mais que uma boa escolha para um volume de controle. Queremos determinar a taxa à qual o nível de água aumenta em um tanque aberto, se a água entrando através de um tubo de 0,10 m2 tem uma velocidade de 0,50 m/s e a vazão de saída é de 0,20 m3/s (Fig. E4.5a). O tanque tem uma seção transversal circular com diâmetro de 0,50 m. Figura E4.5a

49 Solução: Em primeiro lugar é selecionado um volume de controle que se estende acima da superfície da água, como na Figura E4.5a. Da Eq. da continuidade, tem-se: O primeiro termo descreve a taxa de variação da massa no VC. Desprezando a massa de ar acima da água, vem:

50 O sinal negativo indica que o nível de água está diminuindo.
Resolvendo com um novo VC, no qual sua face superior fique abaixo do nível da água (Figura E4.5b). Figura E4.5b A velocidade na face superior é, então, igual a taxa à qual a superfície da água se eleva.

51 Dentro do volume de controle o escoamento é permanente; aplicando a Eq
Dentro do volume de controle o escoamento é permanente; aplicando a Eq. da continuidade, vem: Resolvendo, Que é o mesmo resultado anterior.

52 2.5. Equação da Energia Muitos problemas envolvendo o movimento de fluidos exigem que a primeira lei da termodinâmica, muitas vezes chamada equação da energia, seja usada para relacionar as quantidades de interesse. Se o calor transferido a um aparelho (uma caldeira) ou o trabalho realizado por uma máquina (ventilador, bomba ou turbina) é procurado, a equação da energia é, obviamente, necessária. Ela também é usada para relacionar pressões e velocidades quando a equação de Bernoulli não é aplicável (caso em que os efeitos viscosos não podem ser desprezados), escoamentos através de sistemas de tubulações ou em um canal aberto. A equação da energia será expressa em termos de VC.

53 Decorre do Princípio da Conservação da Energia.
com: onde: Considerando a relação entre sistema e VC

54 fluxo de calor  taxa de transferência de energia sem realização de trabalho. Está associada a uma diferença de temperatura.

55 Por convenção, o trabalho realizado sobre o sistema (VC) é negativo
Termo taxa de trabalho O termo taxa de trabalho corresponde ao trabalho executado pelo sistema. Ou, como se considera o instante em que o sistema ocupa o volume de controle (dedução do TTR), pode-se afirmar que o termo taxa de trabalho também corresponde ao trabalho executado pelo volume de controle. Trabalho  força vezes deslocamento. Taxa de trabalho  força vezes velocidade. (taxa de trabalho ou potência) Por convenção, o trabalho realizado sobre o sistema (VC) é negativo  velocidade vista a partir de um referencial inercial

56 Figura 4.8 Vetor tensão na superfície agindo num elemento da SC
Se a força resulta de uma tensão variável agindo sobre uma superfície de controle, tal como na Figura 4.8, tem-se: Figura 4.8 Vetor tensão na superfície agindo num elemento da SC

57 No geral, para volumes de controle em movimento, o vetor velocidade é relacionado a uma velocidade observada do referencial anexo ao volume de controle por: P X Y Z x y z De modo que:

58 Veja que: Considerando a pressão estática (p), positiva em um estado compressivo, vem: (p  escalar) De modo que:

59  Trabalho de escoamento.
É a taxa de trabalho resultante da força devido à pressão atuante na SC.  Taxa de trabalho resultante de eixos em rotação.  Taxa de trabalho devido à ação do cisalhamento em um contorno em movimento (como uma correia).  Taxa de trabalho que ocorre quando o VC se move em relação à um referencial inercial.

60 Deve-se notar que os termos de taxa de trabalho: e são raramente encontrados em problemas de um curso introdutório e são muitas vezes omitidos.

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62 2.5.2. Equação geral da energia
Combinando as equações da energia e taxa de trabalho,  Eq. da energia  taxa de trabalho ou potência Note-se que o termo trabalho de escoamento foi mudado para o segundo membro e é tratado como termo de fluxo de energia.

63 Em escoamentos “reais”, formas úteis de energia são convertidas em formas de energia não utilizáveis  “perdas”. Assim, para escoamentos isotérmicos e incompressíveis, Levando na equação anterior:

64 As perdas devem-se a dois efeitos principais:
A viscosidade causa atritos internos que resultam em aumento da energia interna ou de transferência de calor. Mudanças bruscas na geometria resultam em descolamentos, que demandam energia útil para manter os movimentos secundários resultantes. Perdas distribuídas: - são perdas que ocorrem ao longo de trechos retilíneos do conduto, devido aos efeitos viscosos. Perdas singulares: - são perdas que ocorrem nas vizinhanças de uma mudança de geometria (válvulas, cotovelos, alargamentos, etc.)

65 Em bombas, turbinas ou ventiladores (máquinas hidráulicas) as perdas são expressas em termos de sua eficiência. Exemplo: bomba com 80% de rendimento. Perdas = 20% da energia fornecida à bomba.

66 2.5.3. Escoamento permanente uniforme
V2 1 V1 Para volume de controle inercial, VI = V, escoamento permanente  d/dt = 0 e, escoamento uniforme nas seções de entrada e saída  (V2/2 + p/ + gz) = Cte. nestas seções, de modo que:

67 Onde, Dividindo por vem:
= 0 = 0 = 0 Onde, Dividindo por vem: ou, A equação da energia, tal como escrita, pode ser aplicada para qualquer escoamento permanente, uniforme com uma entrada e uma saída.

68 O volume de controle deve ser escolhido de forma que as seções de entrada e de saída tenham uma carga total uniforme. hL  perda de carga, com: Muitas das vezes a perda é escrita em função do termo cinético: “carga”  energia por unidade de peso.

69 V2/2g  carga de velocidade
p/  carga de pressão z  carga de posição p/ + z  carga piezométrica V2/2g + p/ + z  carga total. Na ausência do termo de trabalho de eixo e sem dissipação viscosa (perdas) a equação da energia pode ser escrita como:

70 Observe que, para escoamento incompressível, 1 = 2 e a equação da energia toma uma forma idêntica à equação de Bernoulli. Porem, deve-se lembrar que: A Eq. de Bernoulli decorre da Eq. do movimento de Newton, sendo aplicável em uma mesma linha de corrente. A Eq. da energia decorre da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo aplicável entre duas seções de um escoamento com distribuição de velocidades uniformes.

71 Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4
Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4.9, o qual mostra uma comporta em um canal aberto. Figura 4.9 Aplicação da Eq. da energia a uma comporta em um canal aberto A carga total na entrada e na saída pode ser calculada em qualquer ponto da entrada e da saída, respectivamente. Porém, uma escolha conveniente seriam os pontos situados na superfície da água; levando a:

72 = 0 = 0 Considerando, como alternativa, os centróides das seções de entrada e saída, Neste caso, p’1 = h1/2 p’2 = h2/2 Levando estes valores na Eq. anterior, o resultado da primeira alternativa é recuperado.

73 Considere agora o “T” da Figura 4.10.
Figura 4.10 Aplicação da Eq. da energia a uma seção em T Neste caso há uma entrada e duas saídas. A Eq. da energia pode ser aplicada para cada uma das saídas.

74 Ou seja:

75 Sistema com bomba e turbina.
Fazendo, Onde: HB  adição de energia (bomba ou ventilador) HT  extração de energia (turbina) De modo que:

76 Potência hidráulica: Potência de eixo: bomba  turbina  bomba 
Ou, de um modo geral,

77 2.5.4. Escoamento permanente não uniforme
Se a hipótese de perfil uniforme de velocidade não é aceitável, há necessidade de se corrigir o termo cinético na Eq. da energia. Considere o perfil de velocidades da figura abaixo. dA V VdA  peso que passa por dA na unidade de tempo V2/2g  energia cinética por unidade de peso  energia cinética que passa na seção na unid. tempo

78 Em termos da velocidade média, vem:
 energia cinética média Introduzindo o fator de correção da energia cinética () E a Eq. da energia, em termos da velocidade média, fica: Perfis parabólicos em tubos circulares (escoamento laminar)  = 2. Escoamento turbulento em tubos   1,05 Em aproximação  = 1.

79 Exemplo 4.6 A bomba da Fig. E4.6 é usada para aumentar a pressão de 0,2 m3/s de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem uma eficiência de 85%, qual a potência elétrica de que a bomba necessita? A área de saída fica 20 cm acima da área de entrada. Suponha que a área de entrada e de saída sejam iguais. Figura E4.6

80 Solução: Dados Q p1 p2 h z2 - z1 r g 200,0 200 600 85,0% 20 1000 9,81
l/s kPa cm kg/m3 m/s2 0,200 2105 6105 m3/s Pa m Solução: Considerando a Eq. da energia, = 0 = 0

81 Cálculo da potência da bomba.

82 Exemplo 4.7 Água flui de um reservatório através uma tubulação com um diâmetro de 750 mm para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que está localizado a 30 m abaixo da superfície do reservatório. Se a vazão do escoamento é de 2,50 m3/s, e a eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a potência de saída. Suponha um coeficiente de perda na tubulação (incluindo a saída) de K = 2. Dados D Dz Q h K r g 750 30,0 2,50 88,0% 2 1000 9,81 mm m m3/s kg/m3 m/s2 0,750

83 Solução: Figura E4.7 Considerando a Eq. da continuidade,
Cálculo da perda de carga,

84 Cálculo da potência da turbina
Aplicando a Eq. da energia entre um ponto situado na superfície do reservatório e outro na superfície do rio, vem: = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Cálculo da potência da turbina

85 Exemplo 4.8 O medidor Venturi mostrado reduz o diâmetro da tubulação de 10 para um mínimo de 5 cm (Fig. E4.8). Calcule a vazão e a vazão em massa, supondo condições ideais. Figura E4.8

86 Dados D1 D2 Dh r g dHg 10,0 5,0 1,200 1000 9,81 13,6 cm m kg/m3 m/s2 0,100 0,050

87 Solução: Do manômetro de tubo em “U” e aplicando o caminhamento de 1 para 2, vem:

88 Da continuidade, Uma vez que o escoamento se dá sob condições ideais, aplica-se a Eq. de Bernoulli, ou seja:

89 Finalmente,

90 Exemplo 4.9 A distribuição de velocidade para um certo escoamento em uma tubulação é V(r) = Vmáx(1 - r2/r02), na qual r0 é o raio do tubo (Fig. E4.9). Determine o fator de correção da energia cinética. Figura E4.9 Solução: Para determinar o fator de correção da energia cinética “” é necessário conhecer a velocidade média. Assim,

91 Conhecida a velocidade média, pode-se calcular o .

92 Conseqüentemente o fluxo de energia cinética associado à distribuição de velocidade parabólica através de um tubo circular é dado por:

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