PROBLEMA DOS 8 ALUNOS Exercício 1, teste 3, Versões 1 e 3 Entre os 8 há 4 que têm carta de condução, podendo qualquer um deles conduzir um dos automóveis.

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1 PROBLEMA DOS 8 ALUNOS Exercício 1, teste 3, Versões 1 e 3 Entre os 8 há 4 que têm carta de condução, podendo qualquer um deles conduzir um dos automóveis. Os 8 amigos têm de se separar em dois grupos de 4 para efetuarem a viagem. De quantas formas podem ser formados os dois grupos? Oito alunos de uma turma do 12º ano ganharam um concurso cujo prémio são 8 bilhetes para uma estreia de cinema. Para irem ao cinema os 8 alunos vão deslocar-se em dois carros.

2 Este problema resultou de uma adaptação (ligeiramente infeliz) do Exercício 2 do Teste Intermédio de 17.01.2008 Doze amigos vão passear, deslocando-se num automóvel e numa carrinha, ambos alugados. O automóvel dispõe de 5 lugares: o do condutor e mais 4. A carrinha dispõe de 7 lugares: o do condutor e mais 6. Apenas 2 elementos do grupo, a Filipa e o Gonçalo, têm carta de condução, podendo qualquer um deles conduzir, quer o automóvel quer a carrinha. Os 12 amigos têm de se separar em dois grupos, de modo a que um viaje no automóvel e o outro na carrinha. De quantas maneiras diferentes podem ficar constituídos os dois grupos de alunos? R: 2  10 C 4 = 2  210 = 420 ou 2  10 C 6 ou 2 C 1  10 C 4 ou 2 A 1  10 C 4

3 Voltemos ao problema dos 8 alunos Comecemos por analisar uma situação mais simples: A situação é um pouco mais complicada, por dois motivos: temos 4 possíveis condutores; os 8 alunos têm de se dividir em dois grupos do mesmo tamanho (de 4 alunos). Problema de 4 alunos: Suponhamos que temos 4 alunos, entre os quais há 2 com carta, para efetuarem uma viagem em 2 carros. De quantas formas se podem dividir em dois grupos de 2?

4 Sendo C 1 e C 2 os condutores e S 1 e S 2 os restantes, esses 6 grupos são: O número total de grupos de 2 é dado por 4 C 2 = 6 C 1 C 2 S 1 S 2 C 1 S 1 C 2 S 2 C 1 S 2 C 2 S 1  Esta situação não serve (porquê?)  Há duas formas de formar os 2 grupos Portanto, dos 6 possíveis grupos de 2, temos de os emparelhar dois a dois, e não serve a situação em que os condutores ficam no mesmo carro. Resposta: Há apenas duas formas de os 4 alunos se dividirem em dois grupos de 2.

5 Vejamos o mesmo problema, agora com 6 alunos Problema de 6 alunos: Suponhamos que temos 6 alunos, entre os quais há 3 com carta, para efetuarem uma viagem em 2 carros. De quantas formas se podem dividir em dois grupos de 3? Ao cuidado do aluno. Resolução:

6 O número total de grupos de 3 é dado por 6 C 3 = 20. Sendo C 1, C 2 e C 3 os condutores e S 1, S 2 e S 3 os restantes, esses 20 grupos são: C 1 C 2 C 3 S 1 S 2 S 3 C 1 C 2 S 1 C 3 S 2 S 3 C 1 C 2 S 2 C 3 S 1 S 3 C 1 C 2 S 3 C 3 S 1 S 2 C 1 C 3 S 1 C 2 S 2 S 3 C 1 C 3 S 2 C 2 S 1 S 3 C 1 C 3 S 3 C 2 S 1 S 2 C 2 C 3 S 1 C 1 S 2 S 3 C 2 C 3 S 2 C 1 S 1 S 3 C 2 C 3 S 3 C 1 S 1 S 2  Só esta situação não serve (porquê?) Resposta: Há 9 formas de formar os 2 grupos de 3 alunos. Conclusão: Depois de emparelhar os 20 grupos 2 a 2, excluímos a situação de os condutores ficarem no mesmo grupo. Regra geral: temos

7 Agora o problema dos 8 alunos é imediato! C 1 C 2 C 3 C 4 S 1 S 2 S 3 S 4 C 1 C 2 C 3 S 1 C 4 S 2 S 3 S 4 C 1 C 2 C 3 S 2 C 4 S 1 S 3 S 4 ……  Só esta situação não interessa Conclusão: Depois de emparelhar os 70 grupos 2 a 2, excluímos a situação de os condutores ficarem no mesmo grupo. Resposta: temos formas de dividir os 8 alunos em dois grupos de 4. O número total de grupos de 4 é dado por 8 C 4 = 70. Sendo C 1, C 2, C 3 e C 4 os condutores e S 1, S 2, S 3 e S 4 os restantes, esses 70 grupos são: